Question

【題目】如圖1，拋物線與軸交于兩點（點在點左側），與軸交于點，點拋物線的頂點.

（1）求直線的解析式；

（2）拋物線對稱軸交軸于點，為直線上方的拋物線上一動點，過點作于點，當線段的長最大時，連接，過點作射線，且，點為射線上一動點（點不與點重合），連接，為中點，連接，求的最小值；

（3）如圖2，平移拋物線，使拋物線的頂點在射線上移動，點，平移后的對應點分別為點，，軸上有一動點，連接，，是否能為等腰直角三角形？若能，請求出所有符合條件的點的坐標；若不能，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）,,.

【解析】

（1）首先求出B、D兩點坐標，再利用待定系數法即可解決問題；
（2）如圖2中，設P（m，-m2+m+2），連接PD、PB，作PQ⊥OB于Q．由題意欲求PF的最大值，易知當△PBD面積最大時，PF的值最大，由S△PBD=S△PDE+S△PEB-S△EDB，構建二次函數，求出PF的值最大時，點P的坐標為（2，2），易知點H的運動軌跡是線段PE的垂直平分線，易知當AH垂直PE的垂直平分線時，AH的值最小．利用相似三角形的性質求出AK，即可解決問題；
（3）如圖3中，作MN⊥BD于N．當MN=BD時，存在△MB'D'為等腰直角三角形（只要D′或B′與N重合即可），易知H（0，4），由△HMN∽△DBE，可得，推出HM=,推出OM=HM-OH=-4=，可得M（0，-），點M關于H的對稱點M′也滿足條件，此時M′（0，），當M″是HM的中點時，M″是等腰三角形△M″B′D′的直角頂點；

（1）把代入，得，解得：，

∴，

∵

∴

設直線的解析式為

把，代入，得：，解得：

∴直線的解析式為

（2）如圖2中，設P（m，-m2+m+2），連接PD、PB，作PQ⊥OB于Q．

由題意欲求PF的最大值，易知當△PBD面積最大時，PF的值最大，
S△PBD=S△PDE+S△PEB-S△EDB=××（m-）+×2×（-m2+m+2）-×2×=-（m-2）2+，
∵-＜0，
∴m=2時，△PBD的面積最大，PF的值最大，
∴此時P（2，2），
易知點H的運動軌跡是線段PE的垂直平分線，
∴當AH垂直PE的垂直平分線時，AH的值最小，設AH交EM于K，
在Rt△EPQ中，PE=，
由△AKE∽△EQP，得到，
∴AK=，易知HK=NE=PE=，
∴AH=AK+KH=．

（3）如圖3中，作MN⊥BD于N．

∵B（3，0），D（，），
∴BD=，
當MN=BD時，存在△MB'D'為等腰直角三角形（只要D′或B′與N重合即可），
∵直線BD的解析式為y=-x+4，直線BD與y軸的交點H（0，4），
∵△HMN∽△DBE，
∴，
∴，
∴HM=,

∴OM=HM-OH=-4=,∴M（0，-），
點M關于H的對稱點M′也滿足條件，此時M′（0，），
當M″是HM的中點時，M″是等腰三角形△M″B′D′的直角頂點，此時M″（0，），
綜上所述，滿足條件的點M的坐標為（0，-）或（0，）或（0，）．