Question

（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F是AD延長線上一點，且DF＝BE．求證：CE＝CF；

（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點，G是AD上一點，如果∠GCE＝45°，請你利用（1）的結論證明：GE＝BE＋GD．

（3）運用（1）（2）解答中所積累的經驗和知識，完成下題：

如圖3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一點，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面積．

 

Answer 1

解答：（1）證明：在正方形ABCD中，

∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，

∴△CBE≌△CDF．

∴CE＝CF．   

（2）證明： 如圖2，延長AD至F，使DF=BE．連接CF．

     由（1）知△CBE≌△CDF，

∴∠BCE＝∠DCF．

∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD

即∠ECF＝∠BCD＝90°，

又∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°．

∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC，

∴△ECG≌△FCG．

∴GE＝GF

∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD．   

（3）解：如圖3，過C作CG⊥AD，交AD延長線于G．

在直角梯形ABCD中，

∵AD∥BC，∴∠A＝∠B＝90°，

又∠CGA＝90°，AB＝BC，

∴四邊形ABCD 為正方形．

∴AG＝BC．

已知∠DCE＝45°，

根據（1）（2）可知，ED＝BE＋DG．                                          

所以10=4+DG，即DG=6.

設AB＝x，則AE＝x－4，AD＝x－6

在Rt△AED中，   ∵，即．

解這個方程，得：x＝12，或x＝－2（舍去）．

∴AB＝12．

所以梯形ABCD的面積為S=

答：梯形ABCD的面積為108.