【題目】如圖,在平面直角坐標系中,菱形ABCD的邊AB在x軸上,點B坐標(﹣3,0),點C在y軸正半軸上,且sin∠CBO=,點P從原點O出發(fā),以每秒一個單位長度的速度沿x軸正方向移動,移動時間為t(0≤t≤5)秒,過點P作平行于y軸的直線l,直線l掃過四邊形OCDA的面積為S.
(1)求點D坐標.
(2)求S關于t的函數(shù)關系式.
(3)在直線l移動過程中,l上是否存在一點Q,使以B、C、Q為頂點的三角形是等腰直角三角形?若存在,直接寫出Q點的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)D(5,4);(2)見解析;(3)點Q坐標為(,)或(4,1)或(1,﹣3).
【解析】
(1)在Rt△BOC中,OB=3,sin∠CBO=,設CO=4k,BC=5k,根據(jù)BC2=CO2+OB2,可得25k2=16k2+9,推出k=1或﹣1(舍棄),求出菱形的邊長即可解決問題;
(2)①如圖1中,當0≤t≤2時,直線l掃過的圖象是四邊形CCQP,S=4t;②如圖2中,當2<t≤5時,直線l掃過的圖形是五邊形OCQTA.分別求解即可解決問題;
(3)畫出符合條件的圖形,分三種情形分別求解即可解決問題;
(1)在Rt△BOC中,OB=3,sin∠CBO=,設CO=4k,BC=5k,
∵BC2=CO2+OB2,
∴25k2=16k2+9,
∴k=1或﹣1(舍去),
BC=5,OC=4,
∵四邊形ABCD是菱形,
∴CD=BC=5,
∴D(5,4);
(2)①如圖1中,當0≤t≤2時,直線l掃過的圖象是四邊形CCQP,S=4t.
②如圖2中,當2<t≤5時,直線l掃過的圖形是五邊形OCQTA.
S=S梯形OCDA﹣S△DQT=×(2+5)×4﹣×(5﹣t)×(5﹣t)=﹣t2+t﹣,
∴;
(3)如圖3中,①當QB=QC,∠BQC=90°,Q(,);
②當BC=CQ′,∠BCQ′=90°時,Q′(4,1);
③當BC=BQ″,∠CBQ″=90°時,Q″(1,﹣3);
綜上所述,滿足條件的點Q坐標為(,)或(4,1)或(1,﹣3).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中,給出了格點△ABC和△DEF(頂點為網(wǎng)格線的交點),以及過格點的直線l.
(1)將△ABC向右平移兩個單位長度,再向下平移兩個單位長度,畫出平移后的三角形.
(2)畫出△DEF關于直線l對稱的三角形.
(3)填空:∠C+∠E= .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖①,點,,,在一條直線上,,過,分別作,,若.
(1)求證:.
(2)若將的邊沿方向移動得到圖②,其他條件不變,(1)中結論是否仍然成立?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為響應黨的“文化自信”號召,某校開展了古詩詞誦讀大賽活動,現(xiàn)隨機抽取部分同學的成績進行統(tǒng)計,并繪制成如下的兩個不完整的統(tǒng)計圖,請結合圖中提供的信息,解答下列各題:
(1)直接寫出a的值,a= ,并把頻數(shù)分布直方圖補充完整.
(2)求扇形B的圓心角度數(shù).
(3)如果全校有2000名學生參加這次活動,90分以上(含90分)為優(yōu)秀,那么估計獲得優(yōu)秀獎的學生有多少人?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,已知中,,,,、是邊上的兩個動點,其中點從點開始沿方向運動,且速度為每秒,點從點開始沿方向運動,且速度為每秒,它們同時出發(fā),設出發(fā)的時間為.
(1)出發(fā)后,求的長;
(2)當點在邊上運動時,出發(fā)多久后,能形成等腰三角形?
(3)當點在邊上運動時,求能使成為等腰三角形的運動時間.
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【題目】在學校開展的數(shù)學活動課上,小明和小剛制作了一個正三樓錐(質量均勻,四個面完全相同),并在各個面上分別標記數(shù)字1,2,3,4,游戲規(guī)則如下每人投擲三棱錐兩次,并記錄底面的數(shù)字,如果兩次所擲數(shù)字的和為單數(shù),那么算小明贏,如果兩歡所擲數(shù)字的和為偶數(shù),那么算小明贏;
(1)請用列表或者面樹狀圍的方法表示上述游戲中的所有可能結果.
(2)請分別隸出小明和小剛能贏的概率,并判新游戲的公平性.
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【題目】數(shù)學問題:計算(其中m,n都是正整數(shù),且m≥2,n≥1).
探究問題:為解決上面的數(shù)學問題,我們運用數(shù)形結合的思想方法,通過不斷地分割一個面積為1的正方形,把數(shù)量關系和幾何圖形巧妙地結合起來,并采取一般問題特殊化的策略來進行探究.
探究一:計算.
第1次分割,把正方形的面積二等分,其中陰影部分的面積為;
第2次分割,把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分,陰影部分的面積之和為+;
第3次分割,把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分,…;
…
第n次分割,把上次分割圖中空白部分的面積最后二等分,所有陰影部分的面積之和為+++…+,最后空白部分的面積是.
根據(jù)第n次分割圖可得等式: +++…+=1﹣.
探究二:計算+++…+.
第1次分割,把正方形的面積三等分,其中陰影部分的面積為;
第2次分割,把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分,陰影部分的面積之和為+;
第3次分割,把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分,…;
…
第n次分割,把上次分割圖中空白部分的面積最后三等分,所有陰影部分的面積之和為+++…+,最后空白部分的面積是.
根據(jù)第n次分割圖可得等式: +++…+=1﹣,
兩邊同除以2,得+++…+=﹣.
探究三:計算+++…+.
(仿照上述方法,只畫出第n次分割圖,在圖上標注陰影部分面積,并寫出探究過程)
解決問題:計算+++…+.
(只需畫出第n次分割圖,在圖上標注陰影部分面積,并完成以下填空)
根據(jù)第n次分割圖可得等式:_________,
所以, +++…+=________.
拓廣應用:計算 +++…+.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】小張同學嘗試運用課堂上學到的方法,自主研究函數(shù)y=的圖象與性質.下面是小張同學在研究過程中遇到的幾個問題,現(xiàn)由你來完成:
(1)函數(shù)y=自變量的取值范圍是 ;
(2)下表列出了y與x的幾組對應值:
x | … | ﹣2 | ﹣ | m | ﹣ | ﹣ | 1 | 2 | … | |||
y | … | 1 | 4 | 4 | 1 | … |
表中m的值是 ;
(3)如圖,在平面直角坐標系xOy中,描出以表中各組對應值為坐標的點,試由描出的點畫出該函數(shù)的圖象;
(4)結合函數(shù)y=的圖象,寫出這個函數(shù)的性質: .(只需寫一個)
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