Question

如圖，在直角梯形ABCD中，以B點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．
（1）求證：AD=AE；
（2）若AD=8，DC=4，AB=10，求直線AC的解析式；
（3）在（2）中的條件下，在直線AC上是否存在P點(diǎn)，使得△PAD的面積等于△ABE的面積？若存在，請求出P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，
∵AB=BC，∴∠ACB=∠BAC，
∴∠ACD=∠ACB，∵AD⊥DC，AE⊥BC，
∴∠D=∠AEC=90°，
在△ADC和△AEC中
，
∴△ADC≌△AEC （AAS），
∴AD=AE；

（2）∵AD=8，DC=4，AB=10，
∴可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-6，8），A（-10，0），
設(shè)直線AC的解析式為y=ax+b，則
，
解得：
∴直線AC的解析式為：y=2x+20；

（3）存在，
理由：延長AD，在直線AC上取一點(diǎn)P，連接PD，過點(diǎn)P作△ADP的高h(yuǎn)，
∵AD=AE=8，AB=10，
∴BE=6，
∴S_△ABE=×6×8=24，
設(shè)△PAD的邊AD上的高為h，
則由S_△PAD=S_△ABE得，
解得：h=6，
所以P的橫坐標(biāo)為-4或-16，
代入y=2x+20得：
y=2×（-4）+20=12，或y=2×（-16）+20=-12，
∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為12或-12，
所以P的坐標(biāo)為（-4，12）或（-16，-12）．
分析：（1）利用平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)得出∠ACD=∠ACB，進(jìn)而得出△ADC≌△AEC，即可得出答案；
（2）首先由AD=8，DC=4，AB=10，得出C，A點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出直線AC的解析式；
（3）首先求出S_△ABE=×6×8=24，設(shè)△PAD的邊AD上的高為h，則由S_△PAD=S_△ABE得出h的值，進(jìn)而得出P點(diǎn)橫坐標(biāo)，再代入y=2x+20得出縱坐標(biāo)即可．
點(diǎn)評：此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，得出直線AC的解析式是解題關(guān)鍵．