Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y＝﹣x+7的圖象與正比例函數(shù)y＝x的圖象交于點(diǎn)A，點(diǎn)P（t，0）是x正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（　 　，　 　）；

（2）如圖1，連接PA，若△AOP是等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)：

（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，分別交y＝x和y＝﹣x+7的圖象于點(diǎn)B，C．是否存在正實(shí)數(shù)，使得BC＝OA，若存在求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）（4，3）；（2）P（5，0）或（8，0）或（，0）；（3）t＝．

【解析】

（1）解方程組即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)勾股定理得到OA＝＝5，當(dāng)OP＝OA＝5時(shí)，△AOP是等腰三角形，當(dāng)AP＝OA＝5時(shí)，△AOP是等腰三角形，當(dāng)OP＝PA時(shí)，△AOP是等腰三角形，于是得到結(jié)論；

（3）由P（t，0），得到B（t，t），C（t，﹣t+7），根據(jù)BC＝OA，解方程即可得到結(jié)論．

解：（1）解得，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，3），

故答案為：（4，3）；

（2）∵A（4，3），

∴OA＝＝5，

當(dāng)OP＝OA＝5時(shí)，△AOP是等腰三角形，

∴P（5，0），

當(dāng)AP＝OA＝5時(shí)，△AOP是等腰三角形，

則OP＝8，

∴P（8，0）；

當(dāng)OP＝PA時(shí)，△AOP是等腰三角形，

則點(diǎn)P在OA的垂直平分線上，

如圖1，設(shè)OA的垂直平分線交OA于H，

∴OH＝OA＝，

過(guò)A作AG⊥x軸于G，

∴△OPH∽△OAG，

∴，

∴，

∴OP＝，

∴P（，0），

綜上所述，P（5，0）或（8，0）或（，0）；

（3）∵P（t，0），

∴B（t，t），C（t，﹣t+7），

∵BC＝OA，

∴﹣t+7﹣t＝×5或t+t﹣7＝×5，

解得：t＝﹣或t＝，

∵t＞0，

∴t＝．