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【題目】在平面直角坐標系中,拋物線ybx+c,經過點A1,3)、B0,1),過點Ax軸的平行線交拋物線于另一點C

1)求拋物線的表達式及其頂點坐標;

2)如圖1,點GBC上方拋物線上的一個動點,分別過點GGHBC于點H、作GEx軸于點E,交BC于點F,在點G運動的過程中,GFH的周長是否存在最大值?若存在,求出這個最大值;若不存在,請說明理由;

3)如圖2,過A點的直線垂直x軸于點M,點N為直線AM上任意一點,當BCN為直角三角形時,請直接寫出點N的坐標.

【答案】(1),;(2)見解析;(3)(1,0)或(1,4)或(1,﹣1)或(1,9).

【解析】

1)中由待定系數法即可求解;

2)先由題意求出點C4,3),得出直線BC的方程為y=x+1,求出BC=2,又根據BCI∽△FGH得出∠BCI=FGH,從而tanBCI=tanFGH=,G(x,x2+x+1),則F(x,x+1)得出GF= (x2)2+2,所以可得當x=2時,GF最長,此時GFH周長最大.由相似比及正切函數的性質即可求得GFH的周長為:GF+FH+GH=2++2;

3)設N1,n)由已知B01),C43)可求出BN2=12+n-12=n2-2n+2,CN2=32+n-32=n2-6n+18BC2=42+22=20,分三種性況討論:當∠BNC=90°時,BN2+CN2=BC2,得n1=0,n2=4;當∠CBN=90°時,BN2+BC2=CN2,得n3=-1當∠BCN=90°時,BC2+CN2=BN2,得n4=9最后得N點的坐標為:(1,0)或(14)或(1,-1)或(1,9).

1)∵拋物線ybx+c,經過點A13)、B0,1),

解得:,c=1

∴拋物線的表達式為:

,

∴頂點坐標為:;

2)∵A13),∴把y=3代入,可得x1=1,x,2=4

C43

B0,1)、C4,3

得直線BC的表達式為,BC

延長CAy軸交于點I,則I0,3

∵點GBC上方拋物線上的一個動點,分別過點GGHBC于點H、作GEx軸于點E,交BC于點F

∴△BCI∽△FGH

∴∠BCI=FGH

tanBCI,

tanFGH

,則

GF

∴當x=2時,GF最長,此時GFH周長最大.

GF=2

GH

GFH的周長為:GF+FH+GH=22

3)如圖2,由題意,設N1,n

B0,1)、C4,3

BN2=12+n12=n22n+2

CN2=32+n32=n26n+18,

BC2=42+22=20

當∠BNC=90°時,BN2+CN2=BC2,即(n22n+2+n26n+18=20

n1=0n2=4;

當∠CBN=90°時,BN2+BC2=CN2,即(n22n+2+20=n26n+18

n3=1

當∠BCN=90°時,BC2+CN2=BN2,即20+n26n+18=n22n+2

n4=9

綜上所述:N點的坐標為:(1,0)或(14)或(1,﹣1)或(1,9

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9092,8182,78,95,86,88,72,66,62,68,8986,93,97,10073,7680,7781,8689,82,85,71,68,74,98,9097,100,84,8773,65,92,9660

對上述成績進行了整理,得到下列不完整的統計圖表:

成績x/

頻數

頻率

60≤x70

6

0.15

70≤x80

8

0.2

80≤x90

a

b

90≤x≤100

c

d

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1a   ,b   ,c   ,d   

2)請補全頻數分布直方圖;

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