Question

【題目】如圖1，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線OC，使∠AOC＝60°，將一直角三角板MON的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．

（1）求∠CON的度數(shù)；

（2）如圖2是將圖1中的三角板繞點(diǎn)O以每秒10°的速度沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周的情況．在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)?shù)?/span>t秒時(shí)，三條射線OA、OC、OM構(gòu)成相等的角，求此時(shí)t的值；

（3）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3，使ON在∠AOC的內(nèi)部時(shí)，請?zhí)骄俊?/span>AOM與∠CON的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）150°；（2）6或15或24；（3）∠AOM﹣∠CON＝30°，理由見解析

【解析】

（1）根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論；

（2）在圖2中，要分三種情況討論：①當(dāng)∠AOC＝∠COM＝60°時(shí)，②當(dāng)∠AOM＝∠COM＝30°時(shí)，③當(dāng)∠AOC＝∠AOM＝60°時(shí)，根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論；

（3）當(dāng)ON在∠AOC內(nèi)部時(shí)，根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論．

解：（1）由圖1可知∠AOC＝60°，∠AON＝90°，

∴∠CON＝∠AOC+∠AON＝60°+90°＝150°；

（2）在圖2中，要分三種情況討論：

①當(dāng)∠AOC＝∠COM＝60°時(shí)，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角∠BOM＝60°，

由10°t＝60°，解得t＝6，

②當(dāng)∠AOM＝∠COM＝30°時(shí)，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角∠BOM＝150°，

由10°t＝150°，解得t＝15；

③當(dāng)∠AOC＝∠AOM＝60°時(shí)，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角∠BOM＝240°，

由10°t＝240°，解得t＝24．

綜上所述，得知t的值為6或15或24；

（3）當(dāng)ON在∠AOC內(nèi)部時(shí)，∠AOM﹣∠CON＝30°，

其理由是：設(shè)∠AON＝x°，則有∠AOM＝∠MON﹣∠AON＝（90﹣x）°，

∠CON＝∠AOC﹣∠AON＝（60﹣x）°，

∴∠AOM﹣∠CON＝（90﹣x）°﹣（60﹣x）°＝30°．