Question

（本題滿分13分）如圖，拋物線（）與x軸相交于兩點E、B（E在B的左側(cè)），與y軸相交于點C（0，2），點D的坐標(biāo)為（-4，0），且AB=AE=2，．

（1）求點A、B、E的坐標(biāo)；

（2）求拋物線的解析式；

（3）在第一象限的拋物線上，是否存在一點M，作MN⊥x軸，垂足為N，使得以M、N、O為頂點的三角形與△AOC相似．

Answer 1

（1）點B、E的坐標(biāo)為（3,0）（-1,0）；（2）；（3）點M和．

【解析】

試題分析：（1）證明△∽△，然后利用相似三角形的性質(zhì)求出線段OA、OE、OB的長即可；（2）將點C、B、E的坐標(biāo)分別代入，然后解方程組即可；（3）假設(shè)存在點M的坐標(biāo)為，N的坐標(biāo)為適合題意，然后分△∽△或△∽△兩種情況討論即可．

試題解析：【解析】
（1）因為，

所以，．

所以．

所以△∽△．

所以·

又因為點C、D的坐標(biāo)分別為（0,2），（-4,0）

所以，所以點A的坐標(biāo)為（1,0）

因為AB= AE=2，所以點B、E的坐標(biāo)為（3,0）（-1,0）；

（2）因為拋物線經(jīng)過C、B、E，所以將（0,2）（3,0）（-1,0）代入得：

，解得：，，．

所以拋物線解析式為：．

（3）假設(shè)存在點M的坐標(biāo)為，N的坐標(biāo)為適合題意，

①若△∽△，因為

則 即

所以，解得或（舍去）

②若△∽△，因為

則 即

所以，解得或（舍去）

綜上可知存在點M和得以M、N、O為頂點的三角形與△AOC相似···13分

考點：1．相似三角形的判定與性質(zhì)；2．待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；3．函數(shù)與幾何知識的綜合．