Question

如圖，已知在△ABC中，∠A的平分線AD交BC于點(diǎn)D，且AB＝AD，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．

求證：AM＝(AB＋AC)．

Answer 1

答案：
解析：

分析：因?yàn)锳D平分∠BAC，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB，則△ACE是等腰三角形．因?yàn)镃M⊥AD，所以AE＝2AM．又AE＝AD＋DE＝AB＋DE，所以只需證明DE＝AC即可． 　　證明：過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB交AM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E， 　　所以∠B＝∠DCE，∠E＝∠1． 　　因?yàn)锳D平分∠BAC，所以∠1＝∠2． 　　所以∠E＝∠2．所以EC＝AC． 　　又因?yàn)镃M⊥AE，所以AE＝2AM． 　　因?yàn)锳B＝AD，所以∠B＝∠3． 　　又因?yàn)椤?＝∠4，所以∠B＝∠4． 　　因?yàn)椤螧＝∠DCE，所以∠4＝∠DCE． 　　所以DE＝CE． 　　所以DE＝AC． 　　因?yàn)锳E＝AD＋DE， 　　所以2AM＝AB＋AC，即AM＝(AB＋AC)． 　　點(diǎn)評(píng)：角平分線與等腰三角形有著十分密切的聯(lián)系．在許多問(wèn)題中，遇到等腰三角形就會(huì)想到頂角的平分線，遇到角平分線又能構(gòu)造出等腰三角形．本題是利用平行線與角平分線構(gòu)造出等腰三角形，進(jìn)而解決問(wèn)題．