如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,AD=3cm,DC=15cm,BC=24cm.點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),沿A→D→C方向以1cm/s的速度勻速運(yùn)動,同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā),沿C→B方向以2cm/s的速度勻速運(yùn)動.當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動.
(1)連接AP、AQ、PQ,設(shè)△APQ的面積為S(cm2),點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間為t(s),求S與t的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)t為何值時(shí),△APQ的面積最大,最大值是多少?
(3)△APQ能成為直角三角形嗎?如果能,直接寫出t的值;如果不能,請說明理由.

【答案】分析:(1)分點(diǎn)P在線段AD上和點(diǎn)P在線段CD上兩種情況列出關(guān)系式即可;
(2)根據(jù)得到的拋物線的開口向上,對稱軸的右側(cè)s隨t的增大而增大可以得到最大值;
(3)分點(diǎn)P在線段AD上和點(diǎn)P在線段DC上利用相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可列出方程求得t值.
解答:解:(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上時(shí),
∵AP=tcm,AP邊上的高為DC的長,為15cm,
∴S=AP•DC=×t×15=(0≤t≤3);
當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時(shí),如圖1,
PD=(t-3)cm,DC=15-(t-3)=(18-t)cm,CQ=2tcm,
∴S=S梯形ADCQ-S△ADP-S△PQC=[(AD+CQ)•DC-AD•DP-PC•CQ]
=[(3+2t)×15-3×(t-3)-(18-t)×2t]
=t2-t+27(3≤t≤12)

(2)∵S=t2-t+27的圖象開口向上,對稱軸為t=,
∴當(dāng)<t≤12時(shí)s隨t的增大而增加,
∴當(dāng)t=12時(shí)取得最大值,
最大值為:s=122-×12+27=117cm2

(3)當(dāng)點(diǎn)p在AD上QP⊥AD時(shí),如圖2,作AE⊥BC于E點(diǎn),則AP=tcm,CQ=2tcm,
EQ=3-2t,
此時(shí)AP=EQ,即t=3-2t,
解得t=1;
當(dāng)點(diǎn)P在線段DC上時(shí),如圖3,
若∠APQ=90°,
∴∠APD+∠QPC=90°
∴∠APD=∠PQC
∴△APD∽△PQC
即:
解得:t=9或t=6;
∴當(dāng)t=1或t=9時(shí)△APQ能成為直角三角形.
若∠PAQ=90°,如圖4:

此時(shí)PC=CD-PD=15-(t-3)=18-t,CQ=2t,
則AQ2=(2t-3)2+152,AP2=32+(t-3)2,PQ2=(2t)2+(18-t)2,
利用勾股定理可得:AQ2+AP2=PQ2,
即(2t-3)2+152+32+(t-3)2=(2t)2+(18-t)2,
解得:t=4;
綜上可得當(dāng)t=1、4、6、9時(shí)△APQ是直角三角形.
點(diǎn)評:本題考查了相似形的綜合知識,題目中用二次函數(shù)知識解決幾何圖形中面積最大問題和動點(diǎn)問題是中考的熱點(diǎn)考題,需重點(diǎn)掌握.
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11、如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,對角線AC、BD交于點(diǎn)O,則S△AOD
=
S△BOC.(填“>”、“=”或“<”)

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38.4

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A、3cmB、7cmC、3cm或7cmD、2cm

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