Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A(﹣1，0)，C(0，3)兩點(diǎn)，點(diǎn)B是拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，作直線AD．點(diǎn)P在拋物線上，過點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E，交直線AD于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P作PG⊥AD，垂足為點(diǎn)G，連接AP．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，PQ的長度為d．

(1)求拋物線的解析式；

(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo)及直線AD的解析式；

(3)當(dāng)點(diǎn)P在直線AD上方時(shí)，求d關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出d的最大值；

(4)當(dāng)點(diǎn)P在直線AD上方時(shí)，若PQ將△APG分成面積相等的兩部分，直接寫出m的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，3)，直線AD的解析式為y＝x+1；（3）d關(guān)于m函數(shù)關(guān)系式是d＝﹣m2+m+2，d的最大值為；（4）m的值為0

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法可求拋物線的解析式；

（2）將y＝﹣x2+2x+3配方得拋物線的對(duì)稱軸，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法可求直線AD的解析式；

（3）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得d＝﹣m2+2m+3﹣m﹣1＝﹣m2+m+2＝﹣（m﹣）2+，依此可求d的最大值；

（4）可設(shè)直線PG的解析式為y＝﹣x+p，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得G的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法可求m的值．

解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c 經(jīng)過A（﹣1，0），C（0，3）兩點(diǎn)，

∴，

解得．

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3．

（2）∵將y＝﹣x2+2x+3配方，得y＝﹣（x﹣1）2+4，

∴拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝1．

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，3）．

設(shè)直線AD的解析式為y＝kx+n，

由題意，得，

解得．

∴直線AD的解析式為y＝x+1．

（3）∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，

∴點(diǎn)P，Q的縱坐標(biāo)分別為﹣m2+2m+3，m+1，

∴d＝﹣m2+2m+3﹣m﹣1＝﹣m2+m+2＝，

∴d關(guān)于m函數(shù)關(guān)系式是d＝﹣m2+m+2，d的最大值為．

（4）設(shè)直線PG的解析式為y＝﹣x+p，

∵PQ將△APG分成面積相等的兩部分，

∴G的坐標(biāo)為（2m+1，2m+2），

∴，

解得m1＝0，m2＝﹣1（不合題意舍去）．

故m的值為0．