Question

【題目】將一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如圖①擺放，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，DE交AC于點(diǎn)P，DF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C.

（1）求∠ADE的度數(shù)；

（2）如圖②，將△DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)角，此時(shí)等腰直角三角尺記為， 交AC于點(diǎn)M， 交BC于點(diǎn)N，試判斷的值是否隨著的變化而變化？如果不變，請(qǐng)求出的值；反之，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）∠ADE=30°；（2）不變化，理由見解析.

【解析】將一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如圖①擺放，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，DE交AC于點(diǎn)P，DF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C.

（1）求∠ADE的度數(shù)；

（2）如圖②，將△DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)角（0°＜＜60°），此時(shí)等腰直角三角尺記為， 交AC于點(diǎn)M， 交BC于點(diǎn)N，試判斷的值是否隨著的變化而變化？如果不變，請(qǐng)求出的值；反之，請(qǐng)說(shuō)明理由.

試題分析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CD=AD=BD=AB，根據(jù)等邊對(duì)等角求出∠ACD=∠A，再求出∠ADC=120°，再根據(jù)∠ADE=∠ADC-∠EDF計(jì)算即可得解；

（2）根據(jù)同角的余角相等求出∠PDM=∠CDN，再根據(jù)然后求出△BCD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠BCD=60°，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠CPD=60°，從而得到∠CPD=∠BCD，再根據(jù)兩組角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似判斷出△DPM和△DCN相似，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得為定值．

試題解析：（1）∵∠ACB=90°，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，

∴CD=AD=BD=AB，

∴∠ACD=∠A=30°，

∴∠ADC=180°-30°×2=120°，

∴∠ADE=∠ADC-∠EDF=120°-90°=30°；

（2）不變化．

∵∠EDF=90°，

∴∠PDM+∠E′DF=∠CDN+∠E′DF=90°，

∴∠PDM=∠CDN，

∵∠B=60°，BD=CD，

∴△BCD是等邊三角形，

∴∠BCD=60°，

∵∠CPD=∠A+∠ADE=30°+30°=60°，

∴∠CPD=∠BCD，

在△DPM和△DCN中，

，

∴△DPM∽△DCN，

∴，

∵=tan∠ACD=tan30°=，

∴的值不隨著α的變化而變化，是定值．