Question

如圖，矩形ABOD的兩邊OB，OD都在坐標(biāo)軸的正半軸上，OD=3，另兩邊與反比例函數(shù)y=（k≠0）的圖象分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且DE=2．過點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)F作FG⊥EH于點(diǎn)G．回答下面的問題：

①該反比例函數(shù)的解析式是什么？

②當(dāng)四邊形AEGF為正方形時，點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少？

（1）閱讀合作學(xué)習(xí)內(nèi)容，請解答其中的問題；

（2）小亮進(jìn)一步研究四邊形AEGF的特征后提出問題：“當(dāng)AE＞EG時，矩形AEGF與矩形DOHE能否全等？能否相似？”

針對小亮提出的問題，請你判斷這兩個矩形能否全等？直接寫出結(jié)論即可；這兩個矩形能否相似？若能相似，求出相似比；若不能相似，試說明理由．

　

Answer 1

 解：（1）①∵四邊形ABOD為矩形，EH⊥x軸，

而OD=3，DE=2，

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），

∴k=2×3=6，

∴反比例函數(shù)解析式為y=（x＞0）；

②設(shè)正方形AEGF的邊長為a，則AE=AF=a，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（2+a，0）），A點(diǎn)坐標(biāo)為（2+a，3），

∴F點(diǎn)坐標(biāo)為（2+a，3﹣a），

把F（2+a，3﹣a）代入y=得（2+a）（3﹣a）=6，解得a₁=1，a₂=0（舍去），

∴F點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2）；

 

（2）①當(dāng)AE＞EG時，矩形AEGF與矩形DOHE不能全等．理由如下：

假設(shè)矩形AEGF與矩形DOHE全等，則AE=OD=3，AF=DE=2，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（5，3），

∴F點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3），

而3×3=9≠6，

∴F點(diǎn)不在反比例函數(shù)y=的圖象上，

∴矩形AEGF與矩形DOHE不能全等；

②當(dāng)AE＞EG時，矩形AEGF與矩形DOHE能相似．

∵矩形AEGF與矩形DOHE能相似，

∴AE：OD=AF：DE，

∴==，

設(shè)AE=3t，則AF=2t，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（2+3t，3），

∴F點(diǎn)坐標(biāo)為（2+3t，3﹣2t），

把F（2+3t，3﹣2t）代入y=得（2+3t）（3﹣2t）=6，解得t₁=0（舍去），t₂=，

∴AE=3t=，

∴相似比===．