Question

如圖：在四邊形ABCD中，E是AB上的一點(diǎn)，△ADE和△BCE都是等邊三角形，點(diǎn)P、Q、M、N分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，則四邊形MNPQ是________形．

Answer 1

菱
分析：連接AC和BD．根據(jù)△ADE和△BCE都是等邊三角形，點(diǎn)P、Q、M、N分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，利用三角形中位線定理求證MN∥PQ，MN=PQ，MQ∥PN，MQ=PN，從而得出四邊形MNPQ是平行四邊形．再（SAS）求證△AEC≌△DEB，得出AC=BD，然后求證MN=MQ，即可得出結(jié)論
解答：證明：連接AC和BD．
∵△ADE和△BCE都是等邊三角形，
點(diǎn)P、Q、M、N分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，
∴MN∥AC，且，PQ∥AC，且PQ=AC，
∴MN∥PQ，MN=PQ
同理MQ∥BD，且MQ=BD，PN∥BD，且PN=BD，
∴MQ∥PN，MQ=PN
∴四邊形PQMN是平行四邊形．
∵△ADE和△BCE都是等邊三角形，
∴AE=AD=DE，EC=EB=BC，∠DEA=∠CEB=60°，
∴∠AEC=∠DEB=60°+∠DEC=120°，
∴△AEC≌△DEB，
∴AC=BD，
∵M(jìn)N=AC，MQ=BD，
∴MN=MQ，
∴四邊形PQMN是菱形．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)三角形中位線定理和等邊三角形的性質(zhì)這些知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，此題的關(guān)鍵是連接AC和BD．再利用三角形中位線定理求證四邊形PQMN是平行四邊形．再利用△AEC≌△DEB求證出MN=MQ，即可證明四邊形PQMN是菱形．