Question

（2009•濱州）根據(jù)題意，解答下列問題：

（1）如圖①，已知直線y=2x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)；
（2）如圖②，類比（1）的求解過程，請(qǐng)你通過構(gòu)造直角三角形的方法，求出兩點(diǎn)M（3，4），N（-2，-1）之間的距離；
（3）如圖③，P₁（x₁，y₁），P₂（x₁，y₂）是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩點(diǎn)．求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)直線y=2x+4與x軸、y軸交點(diǎn)的特點(diǎn)：與x軸相交時(shí)，y=0，求得x的值；與y軸相交時(shí)，x=0，求得y的值；
（2）、（3）通過構(gòu)造直角三角形的方法，解得MN與P₁P₂的值．
解答：（1）解：由y=0，得x=-2，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），故OA=2．（1分）
同理可得OB=4． （2分）
所以在Rt△AOB中，AB=；（3分）

（2）解：作MP⊥x軸，NP⊥y軸，MP交NP于點(diǎn)P．（4分）
則MP⊥NP，P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-1）．（5分）
故PM=4-（-1）=5，PN=3-（-2）=5．（6分）
所以在Rt△MPN中，MN=；（7分）
（注：若直接運(yùn)用了（3）的結(jié)論不得分．）

（3）證明：作P₂P⊥x軸，P₁P⊥y軸，P₂P交P₁P于點(diǎn)P．
則P₂P⊥P₁P，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₂，y₁）．（8分）
故P₂P=y₂-y₁，P₁P=x₂-x₁．（不加絕對(duì)值符號(hào)此處不扣分）（9分）
所以在Rt△P₂P₁P中，．（10分
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一次函數(shù)圖象與X軸、Y軸交點(diǎn)的特點(diǎn)與解直角三角形，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合思想，綜合性很強(qiáng)，值得學(xué)生去思考．