Question

（本題滿分9分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙C經(jīng)過點(diǎn)O，交x軸的正半軸于點(diǎn)B (2，0)，P是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠OPB＝30°.設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n)．

(1)當(dāng)n＝2，求m的值；

(2)設(shè)圖中陰影部分的面積為S，求S與n之間的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值；

(3)試探索動(dòng)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在整點(diǎn)P(m，n)（橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)叫整點(diǎn)）?若存在，請(qǐng)求出；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

(1)、m=0或2；(2)、S=n+，最大值為：2+；(3)、不存在.

【解析】

試題分析：(1)、根據(jù)角度的關(guān)系得出△OCB為等邊三角形，從而求出OD和CD的長度，然后根據(jù)圓的軸對(duì)稱性求出m的值；(2)、陰影部分的面積等于三角形的面積加上扇弧的面積；(3)、根據(jù)題意求出m的值，然后分別計(jì)算出n的值，看是否有符合條件的.

試題解析：

(1)、過點(diǎn)C作CD⊥OB

∵∠OPB=30° ∴∠OCB=60° ∴△OCB為等邊三角形 ∴OC=OB=2

∴OD=1，CD= ∴當(dāng)n=2時(shí)，根據(jù)圓的對(duì)稱性 得m=0或2.

、S=×2n+(－)=n+－

∴當(dāng)n=2+時(shí)，S最大值為2+.

、動(dòng)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，不存在整點(diǎn).

∵－1≤m≤3，橫坐標(biāo)可取整數(shù)為－1,0,1,2,3

當(dāng)m=－1,3時(shí)，n= 當(dāng)m=0,2時(shí)，n=2 當(dāng)m=1時(shí)，n=2+

以上對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)n均不是整數(shù) ∴動(dòng)點(diǎn)P在弧OwB運(yùn)動(dòng)過程中，不存在整點(diǎn).

考點(diǎn)：圓的基本性質(zhì).