Question

【題目】若拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)及其頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，則稱該拋物線“等邊拋物線”.

(1)若對(duì)任意m，n，點(diǎn)M(m，n)和點(diǎn)N（-m+4，n）恒在“等邊拋物線”：上，求拋物線的解析式；

(2)若拋物線：“等邊拋物線”，求的值；

(3)對(duì)于“等邊拋物線”：，當(dāng)1<x<m吋，總存在實(shí)數(shù)b。使二次函數(shù)的圖象在一次函數(shù)y=x圖象的下方，求m的最大值.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）；（3）m的最大值為6.

【解析】

（1）先由點(diǎn)M和點(diǎn)N關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可得對(duì)稱軸x=2，依據(jù)x=，可得b=-4a，從而得，然后分a＞0和a＜0兩種情況討論，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出頂點(diǎn)坐標(biāo)，代入計(jì)算即可；

（2）設(shè)等邊拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為，，知，結(jié)合頂點(diǎn)坐標(biāo)，可得：，由此即可求出；

（3）由（2）中可得，結(jié)合該等邊拋物線過（1，1），求得b=-6或b=2，依據(jù)對(duì)稱軸位置可知b=-6，聯(lián)立，解得x=1或x=6，從而得出答案.

解：（1）由題意得，點(diǎn)M和點(diǎn)N關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，

∴對(duì)稱軸x=，

∴x=，

∴b=-4a，

∴，

①當(dāng)a＞0時(shí)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-2），

代入，得-2=4a-8a，

解得：a=，

∴；

②當(dāng)a＜0時(shí)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），

代入，得2=4a-8a，

解得：a=，

∴；

綜上，或；

（2）設(shè)等邊拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為，，

令，∴，

∴，

又∵拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，

∴，∵，

∴，

∴

（3）由（2）得，∴，

∴：，

由題意可得該等邊拋物線過（1，1），

∴，

解得：b=-6或b=2，

又對(duì)稱軸x=，

∴b＜-2，

∴b=-6，

∴，

聯(lián)立，

解得x=1或x=6，

∴m的最大值為6.