Question

【題目】如圖，∠MON＝90°，正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在OM、ON上，AB＝13，OB＝5，E為AC上一點(diǎn)，且∠EBC＝∠CBN，直線DE與ON交于點(diǎn)F．

（1）求證BE＝DE；

（2）判斷DF與ON的位置關(guān)系，并說明理由；

（3）△BEF的周長(zhǎng)為 ．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）DF⊥ON，理由見解析；（3）24

【解析】

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△BCE≌△DCE即可；

（2）由第一題所得條件和已知條件可推出∠EDC＝∠CBN，再利用90°的代換即可證明；

（3）過D點(diǎn)作DG垂直于OM，交點(diǎn)為G，結(jié)合已知條件推出DF和BF的長(zhǎng)，再根據(jù)第一題結(jié)論得出△BEF的周長(zhǎng)等于DF加BF即可得出答案．

解：（1）證明：∵四邊形ABCD正方形，

∴CA平分∠BCD，BC＝DC，

∴∠BCE＝∠DCE＝45°，

∵CE＝CE，

∴△BCE≌△DCE（SAS）；

∴BE＝DE；

（2）DF⊥ON，理由如下：

∵△BCE≌△DCE，

∴∠EBC＝∠EDC，

∵∠EBC＝∠CBN，

∴∠EDC＝∠CBN，

∵∠EDC+∠1＝90°，∠1＝∠2，

∴∠2+∠CBN＝90°，

∴∠EFB＝90°，即DF⊥ON；

（3）過D點(diǎn)作DG垂直于OM，交點(diǎn)為G，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠BAD=90°，

∴∠DAG+∠BAO=90°，

∵∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠DAG=∠ABO，

又∵∠MON=90°，DG⊥OM，

∴△ADG≌△ABO，

∴DM=AO，GA=OB=5，

∵AB=13，OB=5，

根據(jù)勾股定理可得AO=12，

由（2）可知DF⊥ON，

又∵∠MON=90°，DG⊥OM，

∴四邊形OFDM是矩形，

∴OF=DG=AO=12，DF=OM=17，

由（1）可知BE＝DE，

∴△BEF的周長(zhǎng)=DF+BF=17+（12-5）=24．