Question

矩形ABCD，∠ACD=30°，點E為矩形ABCD的邊BC上一動點，∠EAD的平分線交CD于點F過點A作EA的垂線交CD的延長線于點G
（1）如圖1，求證：AG=DF+BE；
（2）當點E與點C重合時，如圖2，點H在GA的延長線上，連接BH，點M為BH中點，連接FM，FM=，連接HC交AB于點N，若tan∠BCD=，求HN的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據四邊形ABCD是矩形得到AB=CD，在Rt△ACD中得到AB=AD，再證出△BAE∽△DAG，利用相似三角形的性質，得到=，結合AB∥CD，證出AG=FG=DF+DG=DF+BE．
（2）證出△AFG為等邊三角形，過點H作HK⊥CD于點K，由HK∥BC，tan∠CHK=，設CK=5x，則HK=9x，在Rt△HKG內，∠G=60°，KG=3x，HG=6x，CG=8x，
進而得到CD=AB=HG=6x，連接FH，FB，∠BAF=∠HGF=60°，FG=FA，得到△HGF≌△BAF，推出∠BFH=∠AFG=60°，從而判斷出△BFH為等邊三角形，利用等邊三角形的性質
結合勾股定理得到HN=．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，AB=CD，
在Rt△ACD中，
∵∠ACD=30°，CD=AD，
∴AB=AD，
∵AE⊥AG，
∴∠EAG=∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠EAD=90°，∠GAD+∠EAD=90°，
∴∠BAE=∠GAD，
∵∠B=∠ADG=90°，
∴△BAE∽△DAG，
∴=，
∴DG=BE，
∵∠EAF=∠FAD，AB∥CD，
∴∠BAF=∠FAG=∠AFG，
∴AG=FG，
∴AG=FG=DF+DG=DF+BE．

（2）在Rt△ABC中，∠BCA=60°，由（1）可知，∠G=∠BCA=60°，∠DAG=30°，
∴∠BAG=120°，
∴∠BAF=∠AFG=∠FAG=∠G=60°，
∴△AFG為等邊三角形，過點H作HK⊥CD于點K，HK∥BC，
∴∠CHK=∠BCH，
∴tan∠CHK=，設CK=5x，則HK=9x，在Rt△HKG內，∠G=60°，KG=3x，HG=6x，CG=8x，
∠FAC=∠ACF=30°，
∴AF=FC=2DF，
∴CD=AB=HG=6x，連接FH，FB，∠BAF=∠HGF=60°，FG=FA，
∴△HGF≌△BAF，
∴FB=FH，∠BFA=∠HFG，
∴∠BFH=∠AFG=60°，
∴△BFH為等邊三角形，
∴FM⊥BH，
∵∠FBH=60°，
∴FH=FM=2，FC=4x，FK=x，在Rt△FHK內，FH²=FK²+HK²，
∴x=，
∴HK=3，CK=5，在Rt△CHK內，CH==2，
由AN∥CG，
∴==，
∴HN=．
點評：本題考查了相似形綜合題，涉及勾股定理、相似三角形的性質、三角函數等知識，旨在考查對知識的綜合運用能力，有一定難度．