Question

如圖1，在?ABCD中，AE⊥BC于E，E恰為BC的中點，AD=AE．
（1）如圖2，點P在線段BE上，作EF⊥DP于點F，連接AF．求證：DF-EF=

2

AF；
（2）請你在圖3中畫圖探究：當P為射線EC上任意一點（P不與點E重合）時，作EF⊥DP于點F，連接AF，線段DF、EF與AF之間有怎樣的數(shù)量關系？直接寫出你的結論．

Answer 1

分析：（1）將△AEF繞點A逆時針旋轉90°得到△ADG，可以證得：△AGF是等腰直角三角形，則FG=

2

AF，據(jù)此即可證得；
（2）仿照（1）即可得到結論，可以得到：DF-EF=

2

AF．

解答：解：（1）證明：∵在□ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E
∴AE⊥AD于A，∠FPE=∠ADP
∵AD=AE，∠EAD=90°
∴將△AEF繞點A逆時針旋轉90°得到△ADG
∴△AEF≌△ADG，∠FAG=90°
∴AG=AF，∠ADG=∠AEF
∵EF⊥PD，AE⊥BC
∴∠AEF+∠PEF=90°，∠FPE+∠PEF=90°
∴∠AEF=∠FPE
∵∠ADG=∠AEF，∠FPE=∠ADP
∴∠ADG=∠ADP
∴點G在PD上
∵AF=AG，∠FAG=90°
∴FG=

2

AF
∵FG=DF-DG=DF-EF
∴DF-EF=

2

AF
（2）DF+EF=

2

AF

點評：本題考查了旋轉的性質，正確證得△AGF是等腰直角三角形，是關鍵．