Question

【題目】如圖所示，等腰的周長(zhǎng)為，底邊為， 的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．

（）求的周長(zhǎng)；

（）若， 為上一點(diǎn)，連結(jié)， ，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）13；（2）．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)線段垂直平分線的定義得出AE=BE，則△BEC的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為AE+EC+BC，即求AC+BC，則求出AC即可；（2）作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，連接AF，F(xiàn)P，BF，此時(shí)PD=PF，則DP+BP最小即為PF+BP最小，則當(dāng)P、B、F共線時(shí)DP+BP最小，最小為線段BF的長(zhǎng)，此時(shí)可求出∠BAF=60°，∠ABF=30°，則可得∠AFB=90°，根據(jù)勾股定理求解.

解：（1）∵等腰△ABC周長(zhǎng)21，底邊BC=5，

∴腰長(zhǎng)AB=AC=（21-5）÷2=8，

∵DE為AB的垂直平分線，

∴AE=BE，

∴△BEC的周長(zhǎng)為BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=13.

（2）作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，連接AF，F(xiàn)P，BF，

則當(dāng)P、B、F共線時(shí)DP+BP最小，最小為線段BF的長(zhǎng)，

∵∠BAC=∠CAF=30°，

∴∠DAF=60°，且DA=DB=AF=4，

∴△ADF為等邊三角形，

∴∠ADF=60°，DF=DB=4，

∴∠DBF=∠DFB=30°，

∴∠AFB=∠AFD+∠DFB=90°，

∴△ABF為直角三角形，,

∴BF==4，

∴PD+BP最小值為．