Question

【題目】如圖，已知為的直徑，為延長線上的動點，過點作的切線，為切點， 為上的動點，連接交于點．

（1）當平分時，求證：；

（2）當是的中點時，求證：；

（3）當，且的周長被平分時，設，試求的值．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）詳見解析；（3）

【解析】

（1）連接．根據(jù)切線定義可得：，由角平分線的性質可得：，再由等腰三角形的性質和三角形外角的性質可得：，根據(jù)角的和差即可得出結論；

（2）過作交于．由，得到，由相似三角形的性質可得：．根據(jù)中點的定義及等量代換即可得出結論；

（3）設，則．由余弦的定義求出∠COP=60°，從而得到△OBC為等邊三角形，進而求出BC、AC的長，得到△ABC的周長，根據(jù)的周長被平分，表示出CE，BE，AM，由（2）知，，從而求出．

（1）連接．

切于，，

∴．

∵平分，

．

，．

，，

．

（2）過作交于．

，，

．

為的中點，，，

（3）設，則．

，

，，

為等邊三角形，

，

．

的周長被平分，，即，

，，

由（2）知，，

，

，

即，

，即．