Question

【題目】我們定義：如圖1，在中，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．當(dāng)時(shí)，我們稱(chēng)是的“旋補(bǔ)三角形”，邊上的中線(xiàn)叫做的“旋補(bǔ)中線(xiàn)”．

（特例感知）

（1）在圖2，圖3中，是的“旋補(bǔ)三角形”，是的“旋補(bǔ)中線(xiàn)”．

①如圖2，當(dāng)為等邊三角形，且時(shí)，則長(zhǎng)為 ．

②如圖3，當(dāng)，且時(shí)，則長(zhǎng)為 ．

（猜想論證）

（2）在圖1中，當(dāng)為任意三角形時(shí)，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．（如果你沒(méi)有找到證明思路，可以考慮延長(zhǎng)或延長(zhǎng)，……）

（拓展應(yīng)用）

（3）如圖4，在四邊形中，，，，以為邊在四邊形內(nèi)部作等邊，連接，．若是的“旋補(bǔ)三角形”，請(qǐng)直接寫(xiě)出的“旋補(bǔ)中線(xiàn)”長(zhǎng)及四邊形的邊長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）①，②；（2），見(jiàn)解析；（3），

【解析】

（1）①由旋補(bǔ)三角形的概念可證明△ADB′是含有30°是直角三角形，可得AD=BC即可解決問(wèn)題；

②首先證明△BAC≌△B′AC′，根據(jù)直角三角形斜邊中線(xiàn)定理即可解決問(wèn)題；

（2）結(jié)論：AD=BC．如圖1中，延長(zhǎng)AD到Q，使得AD=DQ，連接B′Q，C′Q，首先證明四邊形AC′QB′是平行四邊形，再證明△BAC≌△AB′Q，即可解決問(wèn)題；

（3）由，是等邊三角形可得，由旋補(bǔ)三角形的概念可得，PB=PA，進(jìn)而求出PB的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理就可求出BC的長(zhǎng)，由（2）的結(jié)論即可求出旋補(bǔ)中線(xiàn)PE的長(zhǎng)和AD的長(zhǎng)．

解：（1）①∵是的“旋補(bǔ)三角形”，

∴，，,

∵為等邊三角形，且，

∴，，

∴是等腰三角形，，

∴AD⊥，，

∴AD=3，

②∵是的“旋補(bǔ)三角形”，

∴，，,

∵，

∴，

∴，

∴，

∵AD為中線(xiàn)，

∴；

（2)猜想：

如圖，延長(zhǎng)至Q，使．

∵是的“旋補(bǔ)中線(xiàn)”，．

四邊形是平行四邊形，

，．

由定義可知，，

，，，．

∵，；

（3）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB，取AD的中點(diǎn)F，連接PF，延長(zhǎng)DP，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥DM，如圖，

∵，△PCD是等邊三角形，

∴，

∵CD=6，

∴PC=CD=PD=6，

∵是的“旋補(bǔ)三角形”，

∴，PB=PA，，

∴△PAB是等腰三角形，，

∵PE⊥AB，

∴EB=EA

∵AB=12，

∴BE=6，，

在△PBC中，由勾股定理得，

，

由（2）可知，，

∴，

∵，

∴,

∵,

∴，

∴，，

∴MD=12，

在△AMD中，由勾股定理得，

∴．