Question

如圖，已知正方形ABCD在直線MN的上方，BC在直線MN上，E是BC上一點，以AE為邊在直線MN的上方作正方形AEFG．
（1）連接GD，求證：△ADG≌△ABE；
（2）連接FC，觀察并猜測∠FCN的度數(shù)是否總保持不變，若∠FCN的大小保持不變，請說明理由；若∠FCN的大小發(fā)生改變，請舉例說明．

Answer 1

證明：（1）∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，
∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD，
∴∠BAE=∠DAG，
在△BAE和△DAG中，
，
∴△BAE≌△DAG（SAS）；

（2）解：∠FCN=45°．
理由是：作FH⊥MN于H，
∵∠AEF=∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，
∴∠FEH=∠BAE，
在△EFH和△ABE中，
，
∴△EFH≌△ABE（AAS），
∴FH=BE，EH=AB=BC，
∴CH=BE=FH，
∵∠FHC=90°，
∴∠FCH=45°．
分析：（1）由四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，易證得AB=AD，AE=AG，∠BAE=∠DAG，則可利用SAS證得：△ADG≌△ABE；
（2）首先作FH⊥MN于H，易證得△EFH≌△ABE，即可得FH=BE，EH=AB=BC，繼而可得CH=FH=BE，即可得△CFH是等腰直角三角形，即可求得∠FCN的度數(shù)．
點評：此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．