Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，P是AD上一動(dòng)點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn)，連接PO并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)Q.

(1) 求證：四邊形PBQD是平行四邊形

(2) 若AD=6cm,AB=4cm, 點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)D重合），設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s , 請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示PD的長(zhǎng)，并求出當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PBQD是菱形。并求出此時(shí)菱形的周長(zhǎng)。

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）

【解析】(1) ∵四邊形ABCD是矩形

∴AD ∥BC

∴∠PDO=∠QBO （1分）

∵O是BD的中點(diǎn)，∴OB=OD

∵∠POD=∠QOB

∴△POD≌△QOB （2分）

∴ OP=OQ ∴四邊形PBQD是平行四邊形 （2分）

(2)依題意得，AP=tcm, 則PD=(6-t) cm （1分）

當(dāng)四邊形PBQD是菱形時(shí)，有PB=PD=(6-t) cm （1分）

∵四邊形ABCD是矩形

∴∠A=90°

在Rt△ABP中， AB=4

∴解得 （3分）

所以運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為時(shí)，四邊形PBQD是菱形。（1分）

∴此時(shí)菱形的周長(zhǎng)為（cm）