Question

【題目】如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=16cm，CD=10cm，AD=5cm DE⊥AB，垂足為E，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/秒的速度沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/秒的速度沿CD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)（P，Q兩點(diǎn)中，有一個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)時(shí)，所有運(yùn)動(dòng)即終止），設(shè)P，Q同時(shí)出發(fā)并運(yùn)動(dòng)了t秒．

（1）當(dāng)四邊形EPQD為矩形時(shí)，求t的值．

（2）當(dāng)以點(diǎn)E、P、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求t的值；

（3）探索：是否存在這樣的t值，使三角形PDQ是以PD為腰的等腰三角形？若存在，求出t的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）t=；（2）t=1或t=3；（3）見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：（1）首先過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，可得AE=BF=3cm，由AB∥CD，∠DEF=90°，可得當(dāng)EP=DQ時(shí)，四邊形EPQD為矩形，即可得方程：2t﹣3=10﹣t，解此方程即可求得答案；

（2）由AB∥CD，可得當(dāng)AP=CQ時(shí)，以點(diǎn)E、P、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，然后分別從當(dāng)P在AE左側(cè)時(shí)與當(dāng)P在AE右側(cè)時(shí)去分析求解即可求得答案；

（3）首先由勾股定理表示出PD2，DQ2，PQ2，然后分別從PD=DQ或PD=PQ去分析求解即可求得答案．

解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，

∵在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，

∴DE=CF，

在Rt△ADE和Rt△BCF中，

，

∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL）；

∴BF=AE，

∵AB=16cm，CD=10cm，

∴AE=BF=3cm，

根據(jù)題意得：AP=2tcm，CQ=tcm，

∴EP=AP﹣AE=2t﹣3（cm），DQ=CD﹣CQ=10﹣t（cm），

∵AB∥CD，∠DEF=90°，

∴當(dāng)EP=DQ時(shí)，四邊形EPQD為矩形，

∴2t﹣3=10﹣t，

解得：t=，

∴當(dāng)四邊形EPQD為矩形時(shí)，t=；

（2）∵AB∥CD，

∴當(dāng)AP=CQ時(shí)，以點(diǎn)E、P、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

當(dāng)P在AE左側(cè)時(shí)，EP=AE﹣AP=3﹣2t（cm），

此時(shí)3﹣2t=t，解得：t=1，

當(dāng)P在AE右側(cè)時(shí)，EP=AP﹣AE=2t﹣3（cm），

此時(shí)2t﹣3=t，解得：t=3，

∴當(dāng)以點(diǎn)E、P、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，t=1或t=3；

（3）存在．

理由：在Rt△ADE中，AE=3，AD=5，

∴DE==4，

∴PD2=PE2+DE2=（2t﹣3）2+42=4t2﹣12t+25，DQ2=（10﹣t）2=t2﹣20t+100，

過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥AB于點(diǎn)M，則BM=BF+FM=3+t，

∴PM=AB﹣AP﹣BM=13﹣3t（cm），

∴PQ2=QM2+PM2=（13﹣3t）2+42=9t2﹣78t+185，

若PD=DQ，則4t2﹣12t+25=t2﹣20t+100，

解得：t=（負(fù)值舍去）；

若PD=PQ，則4t2﹣12t+25=9t2﹣78t+185，

解得：t1=，t2=10（舍去），

綜上可得：t=或t=．