Question

【題目】如圖，已知∠MON=30°，B為OM上一點，BA⊥ON于A，四邊形ABCD為正方形，P為射線BM上一動點，連結CP，將CP繞點C順時針方向旋轉90°得CE，連結BE，若AB=4，則BE的最小值為_____．

Answer 1

【答案】2 +2

【解析】如圖所示，

將BC繞著點C順時針旋轉90°得FC,作直線FE交OM于H,則∠BCF=90°，BC=FC，

∵將CP繞點C按順時針方向旋轉90°得CE，

∴∠PCE=90°，PC=EC，

∴∠BCP=∠FCE，

在△BCP和△FCE中，

BC=FC，∠BCP=∠FCE，PC=EC，

∴△BCP≌△FCE(SAS)，

∴∠CBP=∠CFE，

又∵∠BCF=90°，

∴∠BHF=90°，

∴點E在直線FH上，即點E的軌跡為直線FH，

∵BH⊥EF，

∴當點E與點H重合時，BE=BH最短，

∵當CP⊥OM時，Rt△BCP中，∠CBP=30°，

∴CP=BC=2，BP=CP=2，

又∵∠PCE=∠CPH=∠PHE=90°，CP=CE，

∴正方形CPHE中，PH=CP=2，

∴BH=BH+PH=2+2，

即BE的最小值為2+2，

故答案為：2+2.