Question

【題目】如圖1所示，已知y= （x＞0）圖象上一點(diǎn)P，PA⊥x軸于點(diǎn)A（a，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，b）（b＞0），動(dòng)點(diǎn)M是y軸正半軸上B點(diǎn)上方的點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)N在射線AP上，過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線，交射線AP于點(diǎn)D，交直線MN于點(diǎn)Q連接AQ，取AQ的中點(diǎn)為C．

（1）如圖2，連接BP，求△PAB的面積；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q在線段BD上時(shí)，若四邊形BQNC是菱形，面積為2 ，求此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點(diǎn)Q在射線BD上時(shí)，且a=3，b=1，若以點(diǎn)B，C，N，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求這個(gè)平行四邊形的周長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖2，連接OP．

S△PAB=S△PAO= xy= ×6=3

（2）

解：如圖3，

∵四邊形BQNC是菱形，

∴BQ=BC=NQ，∠BQC=∠NQC，

∵AB⊥BQ，C是AQ的中點(diǎn)，

∴BC=CQ= AQ，

∴∠BQC=60°，∠BAQ=30°，

在△ABQ和△ANQ中，

，

∴△ABQ≌△ANQ（SAS），

∴∠BAQ=∠NAQ=30°，

∴∠BAO=30°，

∵S菱形BQNC=2 = ×CQ×BN，

令CQ=2t=BQ，則BN=2×（2t× ）=2 t，

∴t=1

∴BQ=2，

∵在Rt△AQB中，∠BAQ=30°，

∴AB= BQ=2 ，

∵∠BAO=30°

∴OA= AB=3，

又∵P點(diǎn)在反比例函數(shù)y= 的圖象上，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2）

（3）

解：∵OB=1，OA=3，

∴AB= ，

易得△AOB∽△DBA，

∴ ，

∴BD=3 ，

①如圖3，當(dāng)點(diǎn)Q在線段BD上，

∵AB⊥BD，C為AQ的中點(diǎn)，

∴BC= AQ，

∵四邊形BQNC是平行四邊形，

∴QN=BC，CN=BQ，CN∥BD，

∴ = ，

∴BQ=CN= BD= ，

∴AQ= =2 ，

∴C四邊形BQNC=2 +2 ；

②如圖4，當(dāng)點(diǎn)Q在射線BD的延長(zhǎng)線上，

∵AB⊥BD，C為AQ的中點(diǎn)，

∴BC=CQ= AQ，

∴平行四邊形BNQC是菱形，BN=CQ，BN∥CQ，

∴△BND∽△QAD

∴ = ，

∴BQ=3BD=9 ，

∴AQ= = =2 ，

∴C四邊形BNQC=2AQ=4 ．

【解析】（1）根據(jù)同底等高的兩個(gè)三角形的面積相等即可求出△PAB的面積；（2）首先求出∠BQC=60°，∠BAQ=30°，然后證明△ABQ≌△ANQ，進(jìn)而求出∠BAO=30°，由S四邊形BQNC=2 ，求出OA=3，于是P點(diǎn)坐標(biāo)求出；（3）分兩類(lèi)進(jìn)行討論，當(dāng)點(diǎn)Q在線段BD上，根據(jù)題干條件求出AQ的長(zhǎng)，進(jìn)而求出四邊形的周長(zhǎng)，當(dāng)點(diǎn)Q在線段BD的延長(zhǎng)線上，依然根據(jù)題干條件求出AQ的長(zhǎng)，再進(jìn)一步求出四邊形的周長(zhǎng)．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線．反比例函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形．有兩條對(duì)稱(chēng)軸：直線y=x和 y=-x．對(duì)稱(chēng)中心是：原點(diǎn)；性質(zhì):當(dāng)k＞0時(shí)雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而減��； 當(dāng)k＜0時(shí)雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大才能正確解答此題．