Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，設(shè)x軸為直線l，函數(shù)y=﹣ x，y= x的圖象分別是直線l1 ， l2 ， 圓P（以點(diǎn)P為圓心，1為半徑）與直線l，l1 ， l2中的兩條相切．例如（ ，1）是其中一個(gè)圓P的圓心坐標(biāo)．
（1）寫(xiě)出其余滿足條件的圓P的圓心坐標(biāo)；
（2）在圖中標(biāo)出所有圓心，并用線段依次連接各圓心，求所得幾何圖形的周長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：①若圓P與直線l和l2都相切，

當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)，

過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸，垂足為H，連接OP，如圖1所示．

設(shè)y= x的圖象與x軸的夾角為α．

當(dāng)x=1時(shí)，y= ．

∴tanα= ．

∴α=60°．

∴由切線長(zhǎng)定理得：∠POH= ×（180°﹣60°）=60°．

∵PH=1，

∴tan∠POH= = = ．

∴OH= ．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ，﹣1）．

同理可得：

當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣ ，1）；

當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣ ，﹣1）；

②若圓P與直線l和l1都相切，如圖2所示．

同理可得：當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ，1）；

當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣ ，1）；

當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣ ，﹣1）；

當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ，﹣1）．

③若圓P與直線l1和l2都相切，如圖3所示．

同理可得：

當(dāng)點(diǎn)P在x軸的正半軸上時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ，0）；

當(dāng)點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣ ，0）；

當(dāng)點(diǎn)P在y軸的正半軸上時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2）；

當(dāng)點(diǎn)P在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，﹣2）．

綜上所述：其余滿足條件的圓P的圓心坐標(biāo)有：

（ ，﹣1）、（﹣ ，1）、（﹣ ，﹣1）、

（ ，1）、（﹣ ，1）、（﹣ ，﹣1）、（ ，﹣1）、

（ ，0）、（﹣ ，0）、（0，2）、（0，﹣2）

（2）解：用線段依次連接各圓心，所得幾何圖形，如圖4所示．

由圖可知：該幾何圖形既軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，

由對(duì)稱(chēng)性可得：該幾何圖形的所有的邊都相等．

∴該圖形的周長(zhǎng)=12×（ ﹣ ）=8 ．

【解析】（1）對(duì)圓P與直線l和l2都相切、圓P與直線l和l1都相切、圓P與直線l1和l2都相切三種情況分別考慮，利用切線長(zhǎng)定理和特殊角的三角函數(shù)值即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．（2）由圖可知：該幾何圖形既軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，它的所有的邊都相等．只需求出其中的一條邊就可以求出它的周長(zhǎng)．
【考點(diǎn)精析】利用切線長(zhǎng)定理和軸對(duì)稱(chēng)圖形對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角；兩個(gè)完全一樣的圖形關(guān)于某條直線對(duì)折，如果兩邊能夠完全重合，我們就說(shuō)這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱(chēng)，這條直線就對(duì)稱(chēng)軸．