Question

如圖2 - 81所示，矩形A′BC′O′是矩形OABC(邊OA在x軸正半軸上，邊OC在y軸正半軸上)繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到的．點O′在x軸的正半軸上，點B的坐標(biāo)為(1，3)．

    (1)如果二次函數(shù)y＝ax²+bx+c（a≠0)的圖象經(jīng)過O，O′兩點，且圖象頂點M的縱坐標(biāo)為－l，求這個二次函數(shù)的解析式；

    (2)在(1)中求出的二次函數(shù)圖象對稱軸的右側(cè)，是否存在點P，使得△POM為直角三角形?若存在，求出點P的坐標(biāo)和△POM的面積；若不存在，請說明理由；

(3)求邊C′O′所在直線的解析式．

Answer 1

解：(1)如圖2－83所示，連接BO，BO′，則BO=BO′．∵BA⊥OO′，∴AO＝AO′．∵B(1，3)，∴O′(2，0)，M(1，－1)，∴解得∴所求二次函數(shù)的解析式為y＝x²－2x． 

(2)假設(shè)存在滿足題設(shè)條件的點P(x，y)．連接OM，PM，OP，過P作PN⊥x軸于N，則∠POM＝90°．∵M(jìn)(1，－1)，A(1，0)，AM=OA，∴∠NOA＝45°，∴∠PON=45°，∴ON=NP，即x＝y(tǒng)．∵P(x，y)在二次函數(shù)y=x²－2x的圖象上，∴x＝x²－2x，解得x＝0或x＝3．∵P(x，y)在對稱軸的右側(cè)，∴x＞1，∴x=3，y=3，即P(3，3)是所求的點．連接MO′，顯然△OMO′為等腰直角三角形，∴點O′(2，0)也是滿足條件的點，∴滿足條件的點是P(2，0)或P(3，3)，∴OP=3，OM=，∴S_△POM=OP·OM=3或S_△POM＝OM·O′M=1． 

(3)設(shè)AB與C′O′的交點為D(1，y)，顯然Rt△DAO′≌Rt△DC′B．在Rt△DAO′中，AO′²＋AD²＝O′D²，即1＋y²＝(3－y)²，解得y=，∴D(1，)．設(shè)邊C′O′所在直線的解析式為y＝kx＋b，則解得∴所求直線的解析式為y=