Question

【題目】定義：若某拋物線上有兩點A、B關于原點對稱，則稱該拋物線為“完美拋物線”．已知二次函數y=ax2-2mx+c（a，m，c均為常數且ac≠0）是“完美拋物線”：

（1）試判斷ac的符號；

（2）若c=-1，該二次函數圖象與y軸交于點C，且S△ABC=1．

①求a的值；

②當該二次函數圖象與端點為M（-1，1）、N（3，4）的線段有且只有一個交點時，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) ac＜0；(2)①a=1；②m＞或m＜．

【解析】

（1）設A（p，q）．則B（-p，-q），把A、B坐標代入解析式可得方程組即可得到結論；
（2）由c=-1，得到p2＝，a＞0，且C（0，-1），求得p＝±，①根據三角形的面積公式列方程即可得到結果；②由①可知：拋物線解析式為y=x2-2mx-1，根據M（-1，1）、N（3，4）．得到這些MN的解析式y＝x+（-1≤x≤3），聯立方程組得到x2-2mx-1=x+，故問題轉化為：方程x2-（2m+）x-=0在-1≤x≤3內只有一個解，建立新的二次函數：y=x2-（2m+）x-，根據題意得到（Ⅰ）若-1≤x1＜3且x2＞3，（Ⅱ）若x1＜-1且-1＜x2≤3：列方程組即可得到結論．

（1）設A（p，q）．則B（-p，-q），
把A、B坐標代入解析式可得：

，
∴2ap2+2c=0．即p2＝，
∴≥0，
∵ac≠0，
∴＞0，
∴ac＜0；
（2）∵c=-1，
∴p2＝，a＞0，且C（0，-1），
∴p＝±，
①S△ABC=×2×1=1，
∴a=1；
②由①可知：拋物線解析式為y=x2-2mx-1，
∵M（-1，1）、N（3，4）．
∴MN：y＝x+（-1≤x≤3），
依題，只需聯立在-1≤x≤3內只有一個解即可，
∴x2-2mx-1=x+，
故問題轉化為：方程x2-（2m+）x-=0在-1≤x≤3內只有一個解，
建立新的二次函數：y=x2-（2m+）x-，
∵△=（2m+）2+11＞0且c=-＜0，
∴拋物線y＝x2(2m+)x與x軸有兩個交點，且交y軸于負半軸．
不妨設方程x2(2m+)x＝0的兩根分別為x1，x2．（x1＜x2）
則x1+x2＝2m+，x1x2＝
∵方程x2(2m+)x＝0在-1≤x≤3內只有一個解．
故分兩種情況討論：
（Ⅰ）若-1≤x1＜3且x2＞3：則

．即：，
可得：m＞．
（Ⅱ）若x1＜-1且-1＜x2≤3：則

．即：，
可得：m＜，
綜上所述，m＞或m＜．