Question

【題目】綜合與探究：
如圖，拋物線y= x2﹣ x﹣4與x軸交與A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，以BC為一邊，點(diǎn)O為對(duì)稱(chēng)中心作菱形BDEC，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q．

（1）求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)．
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l分別交BD，BC于點(diǎn)M，N．試探究m為何值時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形，此時(shí)，請(qǐng)判斷四邊形CQBM的形狀，并說(shuō)明理由．
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段EB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)Q，使△BDQ為直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)y=0時(shí)， x2﹣ x﹣4=0，解得x1=﹣2，x2=8，

∵點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，0）．

當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣4，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣4）．

（2）解：由菱形的對(duì)稱(chēng)性可知，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，4）．

設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，則

，

解得k=﹣ ，b=4．

∴直線BD的解析式為y=﹣ x+4．

∵l⊥x軸，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，﹣ m+4），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m， m2﹣ m﹣4）．

如圖，當(dāng)MQ=DC時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形，

∴（﹣ m+4）﹣（ m2﹣ m﹣4）=4﹣（﹣4）．

化簡(jiǎn)得：m2﹣4m=0，

解得m1=0（不合題意舍去），m2=4．

∴當(dāng)m=4時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形．

此時(shí)，四邊形CQBM是平行四邊形．

解法一：∵m=4，

∴點(diǎn)P是OB的中點(diǎn)．

∵l⊥x軸，

∴l(xiāng)∥y軸，

∴△BPM∽△BOD，

∴ = = ，

∴BM=DM，

∵四邊形CQMD是平行四邊形，

∴DM CQ，

∴BM CQ，

∴四邊形CQBM是平行四邊形．

解法二：設(shè)直線BC的解析式為y=k1x+b1，則

，

解得k1= ，b1=﹣4．

故直線BC的解析式為y= x﹣4．

又∵l⊥x軸交BC于點(diǎn)N，

∴x=4時(shí)，y=﹣2，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4，﹣2），

由上面可知，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，2），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4，﹣6）．

∴MN=2﹣（﹣2）=4，NQ=﹣2﹣（﹣6）=4，

∴MN=QN，

又∵四邊形CQMD是平行四邊形，

∴DB∥CQ，

∴∠3=∠4，

∵在△BMN與△CQN中，

，

∴△BMN≌△CQN（ASA）

∴BN=CN，

∴四邊形CQBM是平行四邊形．

（3）解：拋物線上存在兩個(gè)這樣的點(diǎn)Q，分別是Q1（﹣2，0），Q2（6，﹣4）．

若△BDQ為直角三角形，可能有三種情形，如答圖2所示：

①以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)．

此時(shí)以BD為直徑作圓，圓與拋物線的交點(diǎn)，即為所求之Q點(diǎn)．

∵P在線段EB上運(yùn)動(dòng)，

∴﹣8≤xQ≤8，而由圖形可見(jiàn)，在此范圍內(nèi)，圓與拋物線并無(wú)交點(diǎn)，

故此種情形不存在．

②以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)．

連接AD，∵OA=2，OD=4，OB=8，AB=10，

由勾股定理得：AD= ，BD= ，

∵AD2+BD2=AB2，

∴△ABD為直角三角形，即點(diǎn)A為所求的點(diǎn)Q．

∴Q1（﹣2，0）；

③以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)．

如圖，設(shè)Q2點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），過(guò)點(diǎn)Q2作Q2K⊥x軸于點(diǎn)K，則Q2K=﹣y，OK=x，BK=8﹣x．

易證△Q2KB∽△BOD，

∴ ，即 ，整理得：y=2x﹣16．

∵點(diǎn)Q在拋物線上，∴y= x2﹣ x﹣4．

∴ x2﹣ x﹣4=2x﹣16，解得x=6或x=8，

當(dāng)x=8時(shí)，點(diǎn)Q2與點(diǎn)B重合，故舍去；

當(dāng)x=6時(shí)，y=﹣4，

∴Q2（6，﹣4）．

綜上所述，符合題意的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣2，0）或（6，﹣4）

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式，求出當(dāng)x=0和y=0是的函數(shù)值、自變量的值，即可求出點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)。
（2）先根據(jù)菱形是軸對(duì)稱(chēng)圖形求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，在利用待定系數(shù)法求出直線DB的函數(shù)解析式，再分別表示出點(diǎn)M的坐標(biāo)點(diǎn)Q的坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出關(guān)于m的方程即可求出m的值，即可判斷四邊形CQBM是平行四邊形。
（3）要使△BDQ為直角三角形，分三種情況：①以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)；②以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)；③以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)．根據(jù)勾股定理和相似三角形的判定和性質(zhì)，分別求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可。
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解確定一次函數(shù)的表達(dá)式(確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類(lèi)問(wèn)題的一般方法是待定系數(shù)法)，還要掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)(若一直線過(guò)平行四邊形兩對(duì)角線的交點(diǎn)，則這條直線被一組對(duì)邊截下的線段以對(duì)角線的交點(diǎn)為中點(diǎn)，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．