在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形ABCO的頂點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸正半軸上，點(diǎn)P在AB上，PA=1，AO=2．經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸是直線x=2．

（1）求出該拋物線的解析式．
（2）如圖1，將一塊兩直角邊足夠長的三角板的直角頂點(diǎn)放在P點(diǎn)處，兩直角邊恰好分別經(jīng)過點(diǎn)O和C．現(xiàn)在利用圖2進(jìn)行如下探究：
①將三角板從圖1中的位置開始，繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，兩直角邊分別交OA、OC于點(diǎn)E、F，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)A重合時(shí)停止旋轉(zhuǎn)．請(qǐng)你觀察、猜想，在這個(gè)過程中，的值是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，說明理由；若不發(fā)生變化，求出的值．
②設(shè)（1）中的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，頂點(diǎn)為M，在①的旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在點(diǎn)F，使△DMF為等腰三角形？若不存在，請(qǐng)說明理由．

（1）
（2）①的值不變。理由見解析
②存在。理由見解析

解析分析：（1）根據(jù)拋物線過原點(diǎn)和對(duì)稱軸為直線x=2這兩個(gè)條件確定拋物線的解析式。
（2）①如答圖1所述，證明Rt△PAE∽R(shí)t△PGF，則有，的值是定值，不變化。
②若△DMF為等腰三角形，可能有三種情形，需要分類討論，避免漏解。
解：（1）∵拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，∴n=0。
∵拋物線對(duì)稱軸為直線x=2，∴，解得。
∴拋物線的解析式為：。
（2）①的值不變。理由如下：
如答圖1所示，過點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，則PG=AO=2．

∵PE⊥PF，PA⊥PG，∴∠APE=∠GPF。．
在Rt△PAE與Rt△PGF中，
∵∠APE=∠GPF，∠PAE=∠PGF=90°，
∴Rt△PAE∽R(shí)t△PGF。
∴。．
②存在。
拋物線的解析式為：，
令y=0，即，解得：x=0或x=4，∴D（4，0）。
又，∴頂點(diǎn)M坐標(biāo)為（2，﹣1）。
若△DMF為等腰三角形，可能有三種情形：
（�。〧M=FD，如答圖2所示，

過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，則MN=1，ND=2，。
設(shè)FM=FD=x，則NF=ND﹣FD=2﹣x．
在Rt△MNF中，由勾股定理得：NF2+MN2=MF2，
即：，解得：。
∴FD=，OF=OD﹣FD。
∴F（，0）。
（ⅱ）若FD=DM．如答圖3所示，

此時(shí)FD=DM=，∴OF=OD﹣FD=。
∴F（，0）。
（ⅲ）若FM=MD，
由拋物線對(duì)稱性可知，此時(shí)點(diǎn)F與原點(diǎn)O重合，而由題意可知，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合后即停止運(yùn)動(dòng)，故點(diǎn)F不可能運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)O。
∴此種情形不存在。
綜上所述，存在點(diǎn)F（，0）或F（，0），使△DMF為等腰三角形。

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在直角梯形AOCB中，AB∥OC，∠AOC=90°，AB=1，AO=2，OC=3，以O(shè)為原點(diǎn)，OC、OA所在直線為軸建立坐標(biāo)系．拋物線頂點(diǎn)為A，且經(jīng)過點(diǎn)C．點(diǎn)P在線段AO上由A向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)O在線段OC上由C向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，QD⊥OC交BC于點(diǎn)D，OD所在直線與拋物線在第一象限交于點(diǎn)E．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)E′是E關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形OEAE′是菱形？
（3）點(diǎn)P、Q分別以每秒2個(gè)單位和3個(gè)單位的速度同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，PB∥OD？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線的頂點(diǎn)為（0，4）且與x軸交于（﹣2，0），（2，0）．

（1）直接寫出拋物線解析式；
（2）如圖，將拋物線向右平移k個(gè)單位，設(shè)平移后拋物線的頂點(diǎn)為D，與x軸的交點(diǎn)為A、B，與原拋物線的交點(diǎn)為P．
①當(dāng)直線OD與以AB為直徑的圓相切于E時(shí)，求此時(shí)k的值；
②是否存在這樣的k值，使得點(diǎn)O、P、D三點(diǎn)恰好在同一條直線上？若存在，求出k值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x+4與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，過A、B兩點(diǎn)的拋物線為y=﹣x2+bx+c．點(diǎn)D為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作CD⊥x軸于點(diǎn)C，交拋物線于點(diǎn)E．

（1）求拋物線的解析式．
（2）當(dāng)DE=4時(shí)，求四邊形CAEB的面積．
（3）連接BE，是否存在點(diǎn)D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此點(diǎn)D坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（，0）和點(diǎn)B（1，），與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)D在對(duì)稱軸的右側(cè)，x軸上方的拋物線上，且∠BDA=∠DAC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，連接BD，交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)E，連接AE．
①判斷四邊形OAEB的形狀，并說明理由；
②點(diǎn)F是OB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是直線BD的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M與點(diǎn)B不重合，當(dāng)∠BMF=∠MFO時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段BM的長．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

某校為培育青少年科技創(chuàng)新能力，舉辦了動(dòng)漫制作活動(dòng)，小明設(shè)計(jì)了點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的一個(gè)雛形，如圖所示，甲、乙兩點(diǎn)分別從直徑的兩端點(diǎn)A、B以順時(shí)針、逆時(shí)針的方向同時(shí)沿圓周運(yùn)動(dòng)，甲運(yùn)動(dòng)的路程l（cm）與時(shí)間t（s）滿足關(guān)系：（t≥0），乙以4cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，半圓的長度為21cm．

（1）甲運(yùn)動(dòng)4s后的路程是多少？
（2）甲、乙從開始運(yùn)動(dòng)到第一次相遇時(shí)，它們運(yùn)動(dòng)了多少時(shí)間？
（3）甲、乙從開始運(yùn)動(dòng)到第二次相遇時(shí)，它們運(yùn)動(dòng)了多少時(shí)間？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交C點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）它的對(duì)稱軸是直線

（1）求拋物線的解析式；
（2）M是線段AB上的任意一點(diǎn)，當(dāng)△MBC為等腰三角形時(shí)，求M點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖1，過點(diǎn)A（0，4）的圓的圓心坐標(biāo)為C（2，0），B是第一象限圓弧上的一點(diǎn)，且BC⊥AC，拋物線經(jīng)過C、B兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為D。

（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（       ，       ），拋物線的表達(dá)式為       .
（2）如圖2，求證：BD//AC；
（3）如圖3，點(diǎn)Q為線段BC上一點(diǎn)，且AQ=5，直線AQ交⊙C于點(diǎn)P，求AP的長。

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：單選題

如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)DP，過點(diǎn)A作AE⊥DP，垂足為E，設(shè)DP＝，AE＝，則能反映與之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（   ）

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同步練習(xí)冊答案