Question

如圖，已知拋物線經過A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三點．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）在直線AC上方的該拋物線上是否存在一點D，使得△DCA的面積最大？若存在，求出點D的坐標及△DCA面積的最大值；若不存在，請說明理由．
（3）P是直線x=1右側的該拋物線上一動點，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在P點，使得以A、P、M為頂點的三角形與△OAC相似？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線經過A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三點，利用待定系數法即可求得該拋物線的解析式；
（2）設D點的橫坐標為t（0＜t＜4），則D點的縱坐標為-t²+t-2，過D作y軸的平行線交AC于E．即可求得DE的長，繼而可求得S_△DCA=-（t-2）²+4，然后由二次函數的性質，即可求得點D的坐標及△DCA面積的最大值；
（3）首先設P（m，-m²+m-2），則m＞1；然后分別從①當時，△APM∽△ACO與②當時，△APM∽△CAO去分析求解即可求得答案．
解答：解：（1）∵該拋物線過點C（0，-2），
∴可設該拋物線的解析式為y=ax²+bx-2．
將A（4，0），B（1，0）代入y=ax²+bx-2，
得，
解得：．
∴該拋物線的解析式為y=-x²+x-2．

（2）存在．
如圖1，設D點的橫坐標為t（0＜t＜4），則D點的縱坐標為-t²+t-2．
過D作y軸的平行線交AC于E．
設直線AC的解析式為：y=mx+n，
則，
解得：，
由題意可求得直線AC的解析式為y=x-2．
∴E點的坐標為（t，t-2）．
∴DE=-t²+t-2-（t-2）=-t²+2t．
∴S_△DCA=S_△CDE+S_△ADE=×DE×OA=×（-t²+2t）×4=-t²+4t=-（t-2）²+4．
∴當t=2時，S_最大=4．
∴當D（2，1），△DAC面積的最大值為4．

（3）存在．
如圖2，設P（m，-m²+m-2），則m＞1．
Ⅰ．當1＜m＜4時，
則AM=4-m，PM=-m²+m-2．
又∵∠COA=∠PMA=90°，
∴①當時，△APM∽△ACO．
∴4-m=2（-m²+m-2），解得m₁=2，m₂=4（舍去）．
∴P₁（2，1）．
②當時，△APM∽△CAO．
∴2（4-m）=-m²+m-2，解得m₃=4，m₄=5（均不合題意，舍去）．
∴當1＜m＜4時，P₁（2，1）．
Ⅱ．當m＞4時，同理可求P₂（5，-2）．
綜上所述，符合條件的點P為P₁（2，1）和P₂（5，-2）．
點評：此題考查了待定系數法求函數的解析式、相似三角形的判定與性質以及二次函數的最值問題．此題難度較大，注意掌握方程思想、分類討論思想與數形結合思想的應用．