如圖,直線分別交x軸、y軸于B、A兩點(diǎn),拋物線L:y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)G在x軸上,且過(0,4)和(4,4)兩點(diǎn).
(1)求拋物線L的解析式;
(2)拋物線L上是否存在這樣的點(diǎn)C,使得四邊形ABGC是以BG為底邊的梯形,若存在,請求出C點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請說明理由;
(3)將拋物線L沿x軸平行移動(dòng)得拋物線L1,其頂點(diǎn)為P,同時(shí)將△PAB沿直線AB翻折得到△DAB,使點(diǎn)D落在拋物線L1上.試問這樣的拋物線L1是否存在,若存在,求出L1對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,若不存在,說明理由.

【答案】分析:(1)已知拋物線的頂點(diǎn)在x軸上,那么拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),即△=0,然后將已知的兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線中聯(lián)立三式即可求出拋物線的解析式.
(2)若四邊形ABGC是以BG為底的梯形,那么AC∥BG,可先求出A點(diǎn)的坐標(biāo),然后將A點(diǎn)縱坐標(biāo)代入拋物線中即可求出C點(diǎn)坐標(biāo).要注意的是四邊形ABGC是梯形,因此AC≠BG,據(jù)此可將不合題意的值舍去.
(3)假設(shè)存在這樣的拋物線,先設(shè)出平移后拋物線的解析式,解題的大致思路:根據(jù)平移后拋物線的解析式寫出P點(diǎn)的坐標(biāo),然后根據(jù)折疊的性質(zhì)求出D點(diǎn)的坐標(biāo),已知D在拋物線上,將D點(diǎn)代入拋物線的解析式中即可求出拋物線的解析式.
解答:解:(1)∵拋物線L過(0,4)和(4,4)兩點(diǎn),由拋物線的對稱性知對稱軸為x=2,
∴G(2,0),
將(2,0)、(4,4)代入y=ax2+bx+4,

解得,
∴拋物線L的解析式為y=x2-4x+4.

(2)∵直線分別交x軸、y軸于B、A兩點(diǎn),
∴A(0,3),B(-,0).
若拋物線L上存在滿足的點(diǎn)C,則AC∥BG,
∴C點(diǎn)縱坐標(biāo)此為3,
設(shè)C(m,3),
又∵C在拋物線L,代入解析式:(m-2)2=3,
∴m=2±
當(dāng)m=2+時(shí),BG=2+,AG=2+,
∴BG∥AG且BG=AG,
此時(shí)四邊形ABGC是平行四邊形,舍去m=2+,
當(dāng)m=2-時(shí),BG=2-,AG=2-,
∴BG∥AG且BG≠AG,
此時(shí)四邊形ABGC是梯形.
故存在這樣的點(diǎn)C,使得四邊形ABGC是以BG為底邊的梯形,其坐標(biāo)為:
C(2-,3).

(3)假設(shè)拋物線L_1是存在的,且對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=(x-n)2
∴頂點(diǎn)P(n,0).
Rt△ABO中,AO=3,BO=,
可得∠ABO=60°,
又∵△ABD≌△ABP.
∴∠ABD=60°,BD=BP=+n.
如圖,過D作DN⊥x軸于N點(diǎn),
Rt△BND中,BD=+n,∠DBN=60°,
∴DN=+n),BN=,
∴D(--,),
即D(,),
又∵D點(diǎn)在拋物線y=(x-n)2上,
=(--n)2,
整理:9n2+16+21=0.
解得n=-,n=-,當(dāng)n=-時(shí),P與B重合,不能構(gòu)成三角形,舍去,
∴當(dāng)n=-時(shí),此時(shí)拋物線為y=(x+2
點(diǎn)評:本題是二次函數(shù)綜合題,考查了二次函數(shù)解析式的確定、梯形的判定、圖形的翻轉(zhuǎn)折疊等知識.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知,如圖,直線分別交x軸、y軸于點(diǎn)A(-4,0),C,點(diǎn)P(2,m)是直線AC與雙精英家教網(wǎng)曲線y=
kx
在第一象限內(nèi)的交點(diǎn),PB⊥x軸,垂足為點(diǎn)B,△APB的面積為6.
(1)求m值;
(2)求兩個(gè)函數(shù)的解析式;
(3)在第一象限內(nèi)x為何值時(shí)一次函數(shù)大于反比例函數(shù)?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,直線l分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn),且A(3
3
,0)
,∠OAB=30°,動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā),同時(shí)到達(dá)A點(diǎn),運(yùn)動(dòng)停止,點(diǎn)Q沿線段OA運(yùn)動(dòng),速度為每秒
3
個(gè)單位長度,點(diǎn)P沿路線O→B→A運(yùn)動(dòng).
(1)求直線l的解析式;
(2)設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒),△OPQ的面積為S,求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.
(3)在(2)中,若t>1時(shí)有S=
3
3
2
,求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo),并直接寫出以點(diǎn)O、P、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)M的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,直線y=x-1分別交x軸、反比例函數(shù)y=
kx
的圖象于點(diǎn)A、B,若OB2-AB2=5,則k的值是
6
6

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年北京市順義區(qū)李橋中學(xué)九年級(上)第三次月考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

如圖,直線分別交x軸、y軸于B、A兩點(diǎn),拋物線L:y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)G在x軸上,且過(0,4)和(4,4)兩點(diǎn).
(1)求拋物線L的解析式;
(2)拋物線L上是否存在這樣的點(diǎn)C,使得四邊形ABGC是以BG為底邊的梯形,若存在,請求出C點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請說明理由;
(3)將拋物線L沿x軸平行移動(dòng)得拋物線L1,其頂點(diǎn)為P,同時(shí)將△PAB沿直線AB翻折得到△DAB,使點(diǎn)D落在拋物線L1上.試問這樣的拋物線L1是否存在,若存在,求出L1對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,若不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2006年湖北省咸寧市中考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

(2011•甘孜州)如圖,直線y=x+1分別交x軸,y軸于點(diǎn)A,C,點(diǎn)P是直線AC與雙曲線y=在第一象限內(nèi)的交點(diǎn),PB⊥x軸,垂足為點(diǎn)B,△APB的面積為4.
(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)求雙曲線的解析式及直線與雙曲線另一交點(diǎn)Q的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案