Question

（2002•咸寧）已知：如圖甲，△ABC內接于⊙O，AB為直徑，∠CAP=∠B，則結論“AP與⊙O相切于點A”成立．
（1）若把條件“AB為直徑”改為“AB為非直徑的弦”，如圖乙，其它條件不變，那么結論“AP與⊙O相切于點A”仍成立嗎？請證明你的判斷；
（2）在（1）的條件下，若D為弧AB上的一點，且弧AC=弧AD，過B、D兩點的直線交PA于點E．求證：AB•DE=AC•AE．

Answer 1

【答案】分析：（1）結論仍然成立．如圖連接AO并延長交圓O與D，連接DC，可以證明∠PAC+∠CAD=90°，所以AP與⊙O相切于點A；
（2）連接AD，根據切線的性質和已知條件可以找到三角形相似的條件，然后證明△ADE和△ABC相似，再利用相似三角形的性質就可以證明題目的結論．
解答：（1）解：結論仍然成立．
如圖，連接AO，
∴∠D+∠CAD=90°．
∵∠CAP=∠B，∠D=∠B，
∴∠CAP+∠CAD=90°．
∴AP與⊙O相切于點A．

（2）證明：連接AD，則∠ADE=∠C，
∵弧AC和弧AD相等，
∴∠ABC=∠ABD．
∵AE是圓的切線，
∴∠EAD=∠ABD．
∴∠EAD=∠ABC．
∴△AED∽△BAC．
∴AB•DE=AC•AE．
點評：此題首先考查了切線的判定定理，也考查了利用切線的性質證明相似三角形，最后利用相似三角形的性質解題．