Question

【題目】將一副三角尺按如圖①方式拼接：含30°角的三角尺的長(zhǎng)直角邊與含45°角的三角尺的斜邊恰好重合（在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°；在Rt△ACD中，∠ADC＝90°∠DAC＝45°）已知AB＝2，P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）當(dāng)PD＝BC時(shí)，求∠PDA的度數(shù)；

（2）如圖②，若E是CD的中點(diǎn)，求△DEP周長(zhǎng)的最小值；

（3）如圖③，當(dāng)DP平分∠ADC時(shí)，在△ABC內(nèi)存在一點(diǎn)Q，使得∠DQC＝∠DPC，且CQ＝，求PQ的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）∠PDA＝15°；（2）△PDE的周長(zhǎng)的最小值為+；（3）PQ＝﹣．

【解析】

（1）作DM⊥AC交于M，由∠BAC=30°知BC：AC：AB=1：：2且AB=，從而得BC=，AC=3，再由AD：CD：AC=1：1：知AM=MC=DM=1.5；結(jié)合PD=BC=，求得PM=，從而知PM=PD，∠PDM=30°，繼而得出答案；

（2）作△ADC關(guān)于直線AC對(duì)稱，D的對(duì)稱點(diǎn)為D′，知四邊形AD′CD是正方形，連接D′E，PD，此時(shí)PD+PE=D′E，知△PDE的周長(zhǎng)最小，得出CD=CD′=，CE=DE=，D′E=，從而得出答案；

（3）將△PQC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△PND，知△PNQ是等腰直角三角形，得∠PNQ=∠PQN=45°，據(jù)此知∠PQC=45°+90°=135°=∠PND，從而證D、N、Q三點(diǎn)共線得DN=CQ=，由勾股定理知QN=，根據(jù)PQ：PN：NQ=1：1：可得答案．

解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AC交于M，

在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，

∴BC：AC：AB＝1：：2，且AB＝，

∴BC＝，AC＝3，

在Rt△ADC中，AD：CD：AC＝1：1：，

∴AM＝MC＝DM＝1.5；

在Rt△PDM中，PD＝BC＝，

∴PM＝，

∴PM＝PD，

∴∠PDM＝30°，

∴∠PDA＝45°﹣30°＝15°；

（2）如圖2，作△ADC關(guān)于直線AC對(duì)稱，D的對(duì)稱點(diǎn)為D′，

則四邊形AD′CD是正方形，

連接D′E，PD，

此時(shí)PD+PE＝D′E，

∴△PDE的周長(zhǎng)最小，

易得CD＝CD′＝，CE＝DE＝，

則D′E＝，

∴△PDE的周長(zhǎng)的最小值為；

（3）如圖3，將△PQC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△PND，

∵PN＝PQ，

∴△PNQ是等腰直角三角形，

∴∠PNQ＝∠PQN＝45°，

∴∠PQC＝45°+90°＝135°＝∠PND，

∴∠PND+∠PNQ＝135°+45°＝180°，

∴D、N、Q三點(diǎn)共線，

∴DN＝CQ＝，

在Rt△DQC中，DQ＝，

∴QN＝2﹣，

在等腰直角三角形NPQ中，PQ：PN：NQ＝1：1：，

∴PQ＝.