Question

【題目】如圖，在ABC中，ACB 90，BAC 30， AB2，D是AB邊上的一個動點（點D不與點A、B重合），連接CD，過點D作CD的垂線交射線CA于點E．當(dāng)ADE為等腰三角形時，AD的長度為__________．

Answer 1

【答案】1或

【解析】

分兩種情況：①當(dāng)點E在AC上，AE＝DE時，則∠EDA＝∠BAC＝30°，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出BC＝1，∠B＝60°，證出△BCD是等邊三角形，得出AD＝AB－BD＝1；②當(dāng)點E在射線CA上，AE＝AD時，得出∠E＝∠ADE＝15°，由三角形內(nèi)角和定理求出∠ACD＝∠CDA，由等角對等邊得出AD＝AC＝即可．

解：分兩種情況：①當(dāng)點E在AC上，AE＝DE時，

∴∠EDA＝∠BAC＝30°，

∵DE⊥CD，

∴∠BDC＝60°，

∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，

∴BC＝AB＝1，∠B＝60°，

∴△BCD是等邊三角形，

∴BD＝BC＝1，

∴AD＝AB－BD＝1；

②當(dāng)點E在射線CA上，AE＝AD時，如圖所示：

∵∠BAC＝30°，

∴∠E＝∠ADE＝15°，

∵DE⊥CD，

∴∠CDA＝90°15°＝75°，

∴∠ACD＝180°30°75°＝75°＝∠CDA，

∴AD＝AC＝，

綜上所述：AD的長度為1或；

故答案為：1或．