Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)a≠0）與x軸，y軸分別交于A，B，C三點(diǎn)，已知A（-1，0），B（3，0），C（0，3），動(dòng)點(diǎn)E從拋物線的頂點(diǎn)點(diǎn)D出發(fā)沿線段DB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．
（1）直接寫出拋物線解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)E作EF⊥y軸于點(diǎn)F，交拋物線對(duì)稱軸左側(cè)的部分于點(diǎn)G，交直線BC于點(diǎn)H，過點(diǎn)H作HP⊥x軸于點(diǎn)P，連接PF，求當(dāng)線段PF最短時(shí)G點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿直線x=3向上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E的速度為每秒個(gè)單位長度，點(diǎn)Q速度均為每秒1個(gè)單位長度，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)終點(diǎn)B時(shí)點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，試問存在幾個(gè)t值能使△BEQ為等腰三角形？并直接寫出相應(yīng)t值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線y=-x2+2x+3，頂點(diǎn)D為（1，4）（2）G點(diǎn)的坐標(biāo)（， ）（3）存在3個(gè)t值：t=． ，

【解析】試題分析：（1）直接把A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點(diǎn)代入拋物線y=ax2+bx+c求得a、b、c得出解析式，進(jìn)一步求得頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；

（2）連接OH，則四邊形HPOF是矩形，利用矩形的性質(zhì)和垂線段最短求得答案即可；

（3）可用t分別表示出BE、BQ、EQ的長，然后分BE=BQ、BE=EQ、BQ=EQ三種情況，列方程求出t的值．

試題解析：(1)由題意得

解得，

∴拋物線y=x2+2x+3，

頂點(diǎn)D為(1,4)；

(2)如圖，

連接OH，

∵EF⊥y軸，HP⊥x軸，x軸⊥y軸，

∴四邊形HPOF是矩形，

∴PF=OH，

∴當(dāng)OH最短時(shí)，PF最短，

∴OH⊥BC時(shí)，PF最短，

可得H的縱坐標(biāo)為，

把y=代入y=x2+2x+3中，

則=x2+2x+3，

解得x1=,x2= (舍去)；

∴G點(diǎn)的坐標(biāo)(， )

（3）如圖，

DB=2，yBD=-2x+6， 即

點(diǎn)E坐標(biāo)為（， ）,Q(3，t)

當(dāng)BE=BQ時(shí)，2-t=t t=；

當(dāng)BE=EQ時(shí)(2-t)2=( +(,

當(dāng)BQ=EQ時(shí) t2=( +( ,
所以存在3個(gè)t值：t=． ，