Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)M，已知BC＝5，點(diǎn)E在射線BC上，tan∠DCE＝，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位沿BD方向向終點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BD交射線BC于點(diǎn)O，以BP、BQ為鄰邊構(gòu)造PBQF，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）．

（1）tan∠DBE＝　 　；

（2）求點(diǎn)F落在CD上時(shí)t的值；

（3）求PBQF與△BCD重疊部分面積S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（4）連接PBQF的對(duì)角線BF，設(shè)BF與PQ交于點(diǎn)N，連接MN，當(dāng)MN與△ABC的邊平行（不重合）或垂直時(shí)，直接寫(xiě)出t的值．

Answer 1

【答案】（1）;（2）t＝;（3）見(jiàn)解析;（4）t的值為或或或2．

【解析】

（1）如圖1中，作DH⊥BE于H．解直角三角形求出BH，DH即可解決問(wèn)題．

（2）如圖2中，由PF∥CB，可得，由此構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．

（3）分三種情形：如圖3-1中，當(dāng)時(shí)，重疊部分是平行四邊形PBQF．如圖3-2中，當(dāng)時(shí)，重疊部分是五邊形PBQRT．如圖3-3中，當(dāng)1＜t≤2時(shí)，重疊部分是四邊形PBCT，分別求解即可解決問(wèn)題．
（4）分四種情形：如圖4-1中，當(dāng)MN∥AB時(shí)，設(shè)CM交BF于T．如圖4-2中，當(dāng)MN⊥BC時(shí)．如圖4-3中，當(dāng)MN⊥AB時(shí)．當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，MN∥BC，分別求解即可．

解：（1）如圖1中，作DH⊥BE于H．

在Rt△BCD中，∵∠DHC＝90°，CD＝5，tan∠DCH＝，

∴DH＝4，CH＝3，

∴BH＝BC+CH＝5+3＝8，

∴tan∠DBE＝＝＝．

故答案為．

（2）如圖2中，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∵BC＝5，tan∠CBM＝＝，

∴CM＝，BM＝DM＝2，

∵PF∥CB，

∴＝，

∴＝，

解得t＝．

（3）如圖3﹣1中，當(dāng)0＜t≤時(shí)，重疊部分是平行四邊形PBQF，S＝PBPQ＝2tt＝10t2．

如圖3﹣2中，當(dāng)＜t≤1時(shí)，重疊部分是五邊形PBQRT，S＝S平行四邊形PBQF﹣S△TRF＝10t2﹣[2t﹣（5﹣5t）] [2t﹣（5﹣5t）]＝﹣55t2+（20+50）t﹣25．

如圖3﹣3中，當(dāng)1＜t≤2時(shí)，重疊部分是四邊形PBCT，S＝S△BCD﹣S△PDT＝×5×4﹣（5﹣t）（4﹣2t）＝﹣t2+10t．

（4）如圖4﹣1中，當(dāng)MN∥AB時(shí)，設(shè)CM交BF于T．

∵PN∥MT，

∴＝，

∴＝，

∴MT＝，

∵M(jìn)N∥AB，

∴＝＝＝2，

∴PB＝BM，

∴2t＝×2，

∴t＝．

如圖4﹣2中，當(dāng)MN⊥BC時(shí)，易知點(diǎn)F落在DH時(shí)，

∵PF∥BH，

∴＝，

∴＝，

解得t＝．

如圖4﹣3中，當(dāng)MN⊥AB時(shí)，易知∠PNM＝∠ABD，

可得tan∠PNM＝＝，

∴＝，

解得t＝，

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，MN∥BC，此時(shí)t＝2，

綜上所述，滿足條件的t的值為或或或2．