Question

已知⊙O過點D（3，4），點H與點D關(guān)于x軸對稱，過H作⊙O的切線交x軸于點A．
（1）求直線HA的函數(shù)解析式；
（2）求sin∠HAO的值；
（3）如圖，設(shè)⊙O與x軸正半軸交點為P，點E、F是線段OP上的動點（與點P不重合），連接并延長DE、DF交⊙O于點B、C，直線BC交x軸于點G，若△DEF是以EF為底的等腰三角形，試探索sin∠CGO的大小怎樣變化，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連OH，作HK⊥x軸于k，根據(jù)關(guān)于x軸對稱的坐標特點得到H點坐標為（3，-4），再根據(jù)切線的性質(zhì)由AH為⊙O的切線，得到OH⊥AH，利用等角的余角相等得到∠OAH=∠KHO，根據(jù)三角形相似的判定得RtAKH∽Rt△HKO，則AK：HK=HK：OK，即AK：4=4：3，求出AK=，易得A點坐標為（，0），然后利用待定系數(shù)法求直線AH的解析式；
（2）在Rt△OKH中，利用勾股定理計算出OH=5，然后在Rt△OAH中，利用正弦的定義即可得到sin∠HAO的值；
（3）過點D作DM⊥EF于M，并延長DM交⊙O于N，連接ON，交BC于T，根據(jù)垂徑定理得到OM垂直平分DN，即D點與N點關(guān)于x軸對稱，則N點坐標為（3，-4），ON=5；由DM⊥EF根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得DN平分∠BDC，即∠CDN=∠BDN，根據(jù)圓周角定理的推論得到弧BN=弧CN，然后利用垂徑定理的推論可得OT⊥BC，利用等角的余角相等得到∠TGO=∠MNO，在Rt△OMN，OM=3，MN=4，利用正弦的定義即可得到sin∠MNO==，則sin∠CGO=，即sin∠CGO的大小不變．
解答：解：（1）如圖，連OH，作HK⊥x軸于k，
∵點D（3，4），點H與點D關(guān)于x軸對稱，
∴H點坐標為（3，-4），
∵AH為⊙O的切線，
∴OH⊥AH，
∴∠AOH+∠OAH=90°，∠KOH+∠KHO=90°，
∴∠OAH=∠KHO，
∴Rt△AKH∽Rt△HKO，
∴AK：HK=HK：OK，即AK：4=4：3，
∴AK=，
∴OA=OK+AK=3+=，
∴A點坐標為（，0），
設(shè)直線HA的函數(shù)解析式為y=kx+b，
把H（3，-4），A（，0）代入得，
解得，
∴直線HA的函數(shù)解析式為y=x-；

（2）在Rt△OKH中，OH==5，
在Rt△OAH中，sin∠HAO===；

（3）sin∠CGO的大小不變．理由如下：
過點D作DM⊥EF于M，并延長DM交⊙O于N，連接ON，交BC于T，如圖，
則OM垂直平分DN，即D點與N點關(guān)于x軸對稱，
則N點坐標為（3，-4），ON=5，
又∵△DEF為等腰三角形，DM⊥EF，
∴DN平分∠BDC，即∠CDN=∠BDN，
∴弧BN=弧CN，
∴OT⊥BC，
∴∠TGO+∠GOT=90°，
而∠MNO+∠MON=90°，
∴∠TGO=∠MNO，
在Rt△OMN，OM=3，MN=4，
∴sin∠MNO==，
∴sin∠CGO=．
即當(dāng)E、F兩點在OP上運動時（與點P不重合），sin∠CGO的值不變．
點評：本題考查了圓的綜合題：圓的切線垂直于過切點的半徑；垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的��；平分弦所對的弧的直徑垂直平分弦；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等；運用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及關(guān)于坐標軸對稱的點的坐標特點；運用相似三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理進行幾何計算．