Question

如圖，設(shè)△ABC是直角三角形，點D在斜邊BC上，BD=4DC．已知圓過點C且與AC相交于F，與AB相切于AB的中點G．求證：AD⊥BF．

Answer 1

分析：作DE⊥AC于E，由切割線定理：AG²=AF•AC，可證明△BAF∽△AED，則∠ABF+∠DAB=90°，從而得出AD⊥BF．

解答：證明：作DE⊥AC于E，
則AC=

5

4

AE，AB=5DE，
又∵G是AB的中點，
∴AG=

5

2

ED．
∴

25

4

ED²=AF•

5

4

AE，
∴5ED²=AF•AE，
∴AB•ED=AF•AE，
∴

AB

AE

=

AF

ED

，
∴△BAF∽△AED，
∴∠ABF=∠EAD，
而∠EAD+∠DAB=90°，
∴∠ABF+∠DAB=90°，
即AD⊥BF．

點評：本題考查的是切割線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)．