Question

（本題滿分12分）問題提出：平面內(nèi)不在同一條直線上的三點確定一個圓．那么平面內(nèi)的四點(任意三點均不在同一直線上），能否在同一個圓呢？

初步思考：設(shè)不在同一條直線上的三點A、B、C確定的圓為⊙O．

⑴當(dāng)C、D在線段AB的同側(cè)時，

如圖①，若點D在⊙O上，此時有∠ACB＝∠ADB，理由是 ；

如圖②，若點D在⊙O內(nèi)，此時有∠ACB ∠ADB；

如圖③，若點D在⊙O外，此時有∠ACB ∠ADB．（填“＝”、“＞”或“＜”）；

由上面的探究，請直接寫出A、B、C、D四點在同一個圓上的條件： ．

類比學(xué)習(xí)：（2）仿照上面的探究思路，請?zhí)骄浚寒?dāng)C、D在線段AB的異側(cè)時的情形．

如圖④，此時有 ，

如圖⑤，此時有 ，

如圖⑥，此時有 ．

由上面的探究，請用文字語言直接寫出A、B、C、D四點在同一個圓上的條件：

．

拓展延伸：（3）如何過圓上一點，僅用沒有刻度的直尺，作出已知直徑的垂線？

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上．

求作：CN⊥AB．

作法：①連接CA， CB；

②在上任取異于B、C的一點D，連接DA，DB；

③DA與CB相交于E點，延長AC、BD，交于F點；

④連接F、E并延長，交直徑AB于M；

⑤連接D、M并延長，交⊙O于N．連接CN． 則CN⊥AB．

請按上述作法在圖④中作圖，并說明CN⊥AB的理由．（提示：可以利用（2）中的結(jié)論）

Answer 1

（1）同弧所對的圓周角相等； ∠ACB＜∠ADB； ∠ACB＞∠ADB；（2）∠ACB＋∠ADB＝180°；∠ACB＋∠ADB＞180°；∠ACB＋∠ADB＜180；若四點組成的四邊形對角互補，則這四點在同一個圓上;（3）根據(jù)（2）中的結(jié)論可判斷其正確.

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)圓周角定理，結(jié)合圖形回答即可；（2）結(jié)合圖形，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得出結(jié)論, 若四點組成的四邊形對角互補，則這四點在同一個圓上；(3)根據(jù)作圖步驟可判斷正確.

試題解析：（1）同弧所對的圓周角相等． ∠ACB＜∠ADB， ∠ACB＞∠ADB．

答案不惟一，如：∠ACB＝∠ADB．

（2）如圖：

此時∠ACB＋∠ADB＝180°, 此時∠ACB＋∠ADB＞180°, 此時∠ACB＋∠ADB＜180

若四點組成的四邊形對角互補，則這四點在同一個圓上．

（3）作圖正確．

∵AB是⊙O的直徑，C、D在⊙O上，

∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°．

∴點E是△ABF三條高的交點．∴FM⊥AB．

∴∠EMB＝90°．∠EMB＋∠EDB＝180°，

∴點E，M，B，D在同一個圓上．

∴∠EMD＝∠DBE．

又∵點N，C，B，D在⊙O上，∴∠DBE＝∠CND，∠EMD＝∠CND．

∴FM∥CN．∴∠CPB＝∠EMB＝90°．∴CN⊥AB．

考點：1.圓周角定理及推論；2.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)