Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠C﹦90°，AC﹦6，∠B﹦30°，動點P從點A開始沿邊AC向點C以1個單位長度的速度運動，同時動點Q從點C開始沿邊CB向點B以每秒個單位長度的速度運動，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動．過點P作PD∥BC，交A于點D，連接PQ．設運動時間為t秒（t ≥0）．

（1）直接用含t的代數(shù)式分別表示QB、PD、BD的長度：QB﹦ ；PD﹦ ；BD﹦ ．

（2）當t取何值時，若四邊形PDBQ是平行四邊形？

（3）是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．并探究如何改變點Q的速度（勻速運動），使四邊形PDBQ在某一時刻成為菱形，求點Q的速度；

（4）如圖2，以C為原點，以AC所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系．在整個運動過程中，線段PQ的中點M（x，y）會在一個固定的函數(shù)圖像上運動．則

①該函數(shù)解析式為 ；②自變量x的取值范圍是 ；③點M所經(jīng)過的路徑長等于 ．

Answer 1

【答案】（1）QB；PD；BD；（2）；（3）不存在，證明見解析； Q點速度為每秒個單位長度；（4）①；②；③6．

【解析】

（1）可用t表示出CQ、AP的長，由三角函數(shù)可得PD，AD的長，易得答案；

（2）由平行四邊形的性質(zhì)可得QB=DP，列方程求出t即可；

（3）當t=3時，求出BD=6≠DP，故不存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形，設點Q的速度為每秒v個單位長度，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到PD＝BD＝BQ，列方程求解即可；

（4）分析題意可知：點M的運動路徑為一條線段，從AC中點運動到BC中點，用待定系數(shù)法可求出函數(shù)解析式并得到x的取值范圍，由三角形中位線定理可求出M所經(jīng)過的路徑長.

解：（1）∵∠C﹦90°，AC﹦6，∠B﹦30°，

∴BC=，AB=12，

∴QB，

∵tanA=，

∴DP，AD=2t，

∴BD；

（2）若四邊形PDBQ是平行四邊形，則有QB=DP，

即，

解得：t=3；

（3）不存在；

證明：t=3時，四邊形PDBQ是平行四邊形，

此時BD=6≠DP，

∴不存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形，

設點Q的速度為每秒v個單位長度，

則BQ＝vt，

要使四邊形PDBQ為菱形，則PD＝BD＝BQ，

當PD＝BD時，即，

解得：t＝，

當PD＝BQ，t＝時，即，

解得：v＝

∴當點Q的速度為每秒個單位長度時，在某一時刻可以使四邊形PDBQ是菱形；

（4）∵點P從點A向點C運動，同時點Q從點C向點B運動，M是PQ的中點，

∴點M的運動路徑為一條線段，從AC中點運動到BC中點，

①設函數(shù)解析式為y=kx+b，

將AC中點(3,0)，BC中點()代入解析式可得：，

解得：，

∴該函數(shù)解析式為；

②由題意可知：自變量x的取值范圍是：；

③點M所經(jīng)過的路徑長.