Question

【題目】△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，點(diǎn)C為等邊△DEF的邊DE的中點(diǎn)．

（1）如圖1，當(dāng)DE與BC在同一條直線上時(shí)，已知，求的值；

（2）如圖2，當(dāng)DE與AC在同一條直線上時(shí)，分別連接AF，BD，試判斷BD和AF的位置關(guān)系并說(shuō)明理由；

（3）如圖3，當(dāng)DE與△ABC的邊均不在一條直線上時(shí)，分別連接AF，BD，求證：∠FAC＝∠CBD．

Answer 1

【答案】（1）1 （2）BD⊥AF （3）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)平行線的判定和平行線線段成比例解答即可；

（2）連接CF，延長(zhǎng)BD交AF于G，利用相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可；

（3）連接CF，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可．

（1）∵點(diǎn)C為等邊△DEF的邊DE的中點(diǎn)，

∴∠EFC=∠CFD=30°，

∵∠BAC=30°，

∴∠CFD=∠BAC，

∴DF∥AB，

∵，

∴，

∵ED=2CD，

∴；

（2）連接CF，延長(zhǎng)BD交AF于G，則BD⊥AF于G，如圖：

∵，∠ACF=∠BCD=90°，

∴△ACF∽△BCD，

∴∠FAC=∠CBD，

∵∠BDC+∠DBC=90°，

∴∠ADG+∠DAG=90°，

即BD⊥AF于G；

（3）連接CF，如圖：

∵點(diǎn)C為等邊△DEF的邊DE的中點(diǎn)，

∴FC⊥DE，

∴∠FCD=90°，

∵∠FCA+∠ACD=∠BCD+∠ACD=90°，

∴∠FCA=∠BCD，

∵，

∴△ACF∽△BCD，

∴∠FAC=∠CBD．