Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，∠ABC=90°，BD的垂直平分線交AC、BD分別于點(diǎn)M、N，點(diǎn)M為AC中點(diǎn).

(1) 求證：AM=DM；

(2) 求∠ADC的度數(shù)；

(3) 當(dāng)∠BCD為_______°時(shí)，∠BMD為120°．(直接寫出結(jié)果)

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）90°；（3）60

【解析】試題分析：（1）根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，求出BM，MC的長(zhǎng)，然后根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得證結(jié)論；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，然后根據(jù)等量代換得到DM=AM=CM，然后根據(jù)等邊對(duì)等角以及三角形的內(nèi)角和，可得出∠ADC的度數(shù)；

（3）根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)，和三角形的外角性質(zhì)，可直接根據(jù)∠BMD的度數(shù)求出∠BCD.

試題解析：(1) ∵∠ABC=90°，點(diǎn)M為AC中點(diǎn)，∴BM=AC，MC=AM=AC，∴AM=BM.∵M(jìn)N垂直平分BD，∴DM=BM，∴AM=BM；

(2)由(1)知：DM=BM，AM=BM，∴DM=AM.∵M(jìn)C=AM=AC，∴DM=MC=AM，∴在△ADM中，∠DAM=∠ADM；在△DMC中，∠DCM=∠CDM.∵∠DAM+∠ADM+∠DCM+∠CDM=180°，即：2∠ADM+2∠CDM=180°，∴∠ADM+∠CDM=90°，即∠ADC的度數(shù)為90°；

(3)60