Question

【題目】如圖，A，B是直線l上的兩點(diǎn)，AB=4厘米，過(guò)l外一點(diǎn)C作CD∥l，射線BC與l所組成的銳角為60°，線段BC=2厘米，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從B、C同時(shí)出發(fā)，P以1厘米/秒的速度，沿由B向C的方向運(yùn)動(dòng)；Q以2厘米/秒的速度，沿由C向D的方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)t＞2時(shí)，PA交CD于點(diǎn)E．
（1）用含t的代數(shù)式分別表示CE和QE的長(zhǎng)；
（2）求△APQ的面積s與t的函數(shù)表達(dá)式；
（3）當(dāng)QE恰好平分△APQ的面積時(shí)，QE的長(zhǎng)是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知：BP=t，CQ=2t，PC=t﹣2．

∵EC∥AB，

∴ = ，

∴EC= = ，

∴QE=QC﹣EC=2t﹣ = ；

（2）解：如圖，作PF⊥L于F，交DC延長(zhǎng)線于M，AN⊥CD于N．

在△PBF中，PF=PBsin60°= t，

∴S△APQ=S△AQE+S△PQE

= QEAN+ QEPM= QEPF

= × × t= （t2﹣2t+4）；

（3）解：此時(shí)，E為PA的中點(diǎn)，所以C也是PB的中點(diǎn)，

則t﹣2=2，

∴t=4，

∴QE= = =6（厘米）．

【解析】（1）根據(jù)題意得出BP=t，CQ=2t，PC=t﹣2，再根據(jù)EC∥AB，得出 = ，最后得出EC的值，即可表示出CE和QE的長(zhǎng)；（2）以QE為底邊，過(guò)P引l的垂線作高，根據(jù)P的速度可以用t表示出BP，也就能用BP和∠1的正弦函數(shù)求出高，那么關(guān)鍵是求QE的長(zhǎng)，我們可以根據(jù)Q的速度用時(shí)間t表示出CQ，那么只要求出CE即可．用相似三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例來(lái)求CE的長(zhǎng)，根據(jù)三角形PEC和三角形PAB相似，可得出關(guān)于CE、AB、PC、BC的比例式，由BP、BC、AB的值，可以用含t的式子表示出CE，也就表示出了QE，那么可根據(jù)三角形的面積公式，得出關(guān)于S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）如果QE恰好平分三角形APQ的面積，那么此時(shí)P到CD和CD到l之間的距離就相等，那么C就是PB的中點(diǎn)，可根據(jù)BP=2BC求出t的值，然后根據(jù)（1）中得出的表示QE的式子，將t代入即可得出QE的值即可．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)和解直角三角形，掌握相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方；解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)即可以解答此題．