Question

如圖所示，AD∥BC，梯形ABCD的面積是180，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC邊上的點(diǎn)，且AF∥CD，AF分別交ED，BD于G，H，設(shè)

BC

AD

=m，m是整數(shù)．
（1）若m=2，求△GHD的面積；
（2）若△GHD的面積為整數(shù)，求m的值．

Answer 1

分析：（1）若m=2，即BC=2AD，且四邊形AFCD為平行四邊形，可知F為BC中點(diǎn)，加上已知E為AB中點(diǎn)，可知G為△ABD的重心，從而求出AG和GH的比例關(guān)系，利用已知的總面積進(jìn)而求出未知三角形在原圖形中所占的比例，
（2）在（1）的基礎(chǔ)之上，先求出△DHG面積，用m表示出來(lái)，進(jìn)而考慮△DHG面積為整數(shù)時(shí)，m的取值．

解答：解：（1）∵AF∥CD，
∴四邊形AFCD為平行四邊形，
∴FC=AD=

1

2

BC，
∴F是BC的中點(diǎn)，
∴H為BD中點(diǎn)，
又∵E是AB的中點(diǎn)，故G為△ABD的重心，因此GH=

1

2

AG．（3分）
∴S△ABD=

1

3

SABCD=60，S△AHD=

1

2

S△ABD=30，S△GHD=

1

3

S△AHD=10．（6分）

（2）作BK∥AF交ED于K，
則△KEB≌△GEA，
∴AG=KB，
∴

GH

AG

=

GH

KB

=

HD

BD

=

FC

BC

=

AD

BC

=

1

m

．（9分）
∴S_△ABD：S_△BCD=1：m，
∴S△ABD=

1

m+1

SABCD=

180

m+1

．S△AHD=

1

m

S△ABD=

180

m(m+1)

，
S△GHD=

1

m+1

S△AHD=

180

m(m+1)2

．（12分）
即

180

m(m+1)2

為整數(shù)，因?yàn)?80=2²×3²×5，所以m+1=2，3或6．
經(jīng)驗(yàn)證，m+1=3或6，即m=2或5．（15分）

點(diǎn)評(píng)：解此題的關(guān)鍵是利用平行四邊形的性質(zhì)和重心的相關(guān)知識(shí)，來(lái)解決相關(guān)證明和計(jì)算．