Question

【題目】已知是等腰三角形，，，點在邊上，點在邊上（點不與所在線段端點重合），，連接，射線，延長交射線于點，點在直線上，且．

（1）如圖，當時，請直接寫出與的關系：_____；與的位置關系：_____．

（2）當，其他條件不變時，的度數是多少？（用含的代數式表示）

（3）若是等邊三角形，，是邊上的三等分點，直線與直線交于點，求線段的長．

Answer 1

【答案】（1），；（2）或；（3）的長為或

【解析】

（1）根據SAS證明即可；根據平行線的性質和余角的性質證明∠ADE+∠ADB=90°即可；
（2）分兩種情形討論求解即可，①如圖2中，當點E在AN的延長線上；②如圖3中，當點E在NA的延長線上；結合外角的性質求解；
（3）分兩種情形求解即可，①如圖4中，當BN=BC=時，作AK⊥BC于K，證明△AKN≌△DCF即可得出結論；②如圖5中，當CN=BC=時，作AK⊥BC于K，DH⊥BC于H，證明△AKN≌△DHF即可得出結論.

解：（1）證明：如圖1中，∠ACB=90°，

，，

即，

，

在△BCM和△ACN中，

，

（SAS）；

，

，

，

，

，，

，

，

，

，

即BD與DE的位置關系為：BD⊥DE；

（2）解：如圖2中，當點在的延長線上時，

∵AG∥BC，

∠ANB=∠CAN+∠ACB=∠EAD=∠CAN+∠CAD，

∴，，

，

，

，

．

如圖3中，當點在的延長線上時，

可得，

，

，

．

綜上所述，或．

故答案為：或；

（3）解：如圖4中，當時，作于．

，

，

=BC，，

∴KC=AD，

∴四邊形AKCD為平行四邊形，而AK⊥KC，

則四邊形是矩形，

∵AE=DE，

∴∠EAD=∠EDA，

∵AG∥BC，

∴∠EAD=∠ANK=∠DFC=∠EDA，

在△AKN和△DCF中，

∴△AKN≌△DCF（AAS），

；

如圖5中，當時，作于，于．

，

，

，

∵AK⊥AD，DH⊥AD，AG∥BC，

∴四邊形AKHD為矩形，

∴AK=DH，AD=KH，

∵△ABC為等邊三角形，AK⊥BC，

∴BK=CK=，

∴AK=,

則，

∵AE=DE，

∴∠EAD=∠EDA，

∴∠KAN=∠HDF，

在△AKN和△DHF中，

，

∴（ASA），

∴，

．

綜上所述，的長為或．