Question

【題目】如圖：已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，點D是AB上任意一點，AE⊥AB，且AE=BD，DE與AC相交于點F．

（1）試判斷△CDE的形狀，并說明理由．
（2）是否存在點D，使AE=AF？如果存在，求出此時AD的長，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：△CDE是等腰直角三角形．理由如下：

∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠B=∠BAC=45°，

∵AE⊥AB，

∴∠CAE=90°﹣45°=45°，

∴∠B=∠CAE，

在△ACE和△BCD中， ，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴CD=CE，∠ACE=∠BCD，

∵∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°，

∴∠DCE=∠ACD+∠ACE=90°，

∴△CDE是等腰直角三角形

（2）解：存在AD=1．理由如下：

∵AE=AF，∠CAE=45°，

∴∠AEF=∠AFE= （180°﹣45°）=67.5°，

∴∠ADE=90°﹣67.5°=22.5°，

∵△CDE是等腰直角三角形，

∴∠CDE=45°，

∴∠ADC=22.5°+45°=67.5°，

在△ACD中，∠ACD=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，

∴∠ACD=∠ADC，

∴AD=AC=1．

【解析】（1）根據等腰直角三角形的性質求出∠B=∠BAC=45°，再求出∠CAE=45°，從而得到∠B=∠CAE，再利用“邊角邊”證明△ACE和△BCD全等，根據全等三角形對應邊相等可得CD=CE，全等三角形對應角相等可得∠ACE=∠BCD，再求出∠DCE=90°，從而得解；（2）根據等腰三角形兩底角相等求出∠AEF=∠AFE=67.5°，再根據直角三角形兩銳角互余求出∠ADE=22.5°，然后求出∠ADC=67.5°，利用三角形的內角和定理求出∠ACD=67.5°，從而得到∠ACD=∠ADC，根據等角對等邊即可得到AD=AC．